Função contínua: diferenças entre revisões
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Em [[matemática]], uma [[função (matemática)|função]] é '''contínua''' quando, intuitivamente, a pequenas variações nos objectos correspondem pequenas variações nas imagens. Nos pontos onde a função não é contínua, diz-se que a função é '''descontínua''', ou que se trata de um '''ponto de descontinuidade'''.
==Definições de Continuidade==
===Em [[espaço topológico]] ===
Diz-se que uma [[função (matemática)|função]] <math>f:X\rightarrow Y</math> entre [[espaço topológico|espaços topológicos]] é contínua se a [[imagem recíproca]] de qualquer aberto de <math>Y</math> é um aberto de <math>X</math>.
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[[Imagem:Floor function.svg|thumb|200px|direita|Esta função é descontínua nos [[número inteiro|inteiros]].]]
Estes exemplos usam propriedades da [[imagem recíproca]], ou seja, dada uma função <math>f: X \rightarrow Y</math> e um conjunto <math>A \subset Y</math>, o conjunto <math>f^{-1}(A) = \{ x \in X | f(x) \in A \}</math>.
* Seja
* Seja
* Sejam <math>f: X \rightarrow Y</math> e <math>g: Y \rightarrow Z</math> funções contínuas. Então <math> g \circ f: X \rightarrow Z</math> também é uma função contínua. Prova: qualquer que seja <math>A \subset Z</math> aberto, pela continuidade de
===Em [[espaço métrico]] ===
Diz-se que uma [[função (matemática)|função]] <math>f</math> é contínua no ponto <math>x=a</math> se existir o [[limite]] de <math>f(x)</math> com <math>x</math> tendendo a
Em [[análise real]], essa definição é escrita na forma tradicional Epsilon-Delta, ou seja, diz-se que uma função
Esta definição, com uma pequena adaptação, pode ser usada para uma função de um [[espaço métrico]]
Diz-se que ''f'' é contínua em seu [[Domínio (matemática)|domínio]], ou simplesmente contínua, se ela for contínua em todos os pontos desse domínio.
=== Equivalência das Definições ===
Se
Uma função <math>f: E \rightarrow F</math>, em que ''E'' e ''F'' são espaços topológicos, é '''sequencialmente contínua''' em um ponto <math>a \in E</math> quanto ela ''comuta'' com o limite de sequências, ou, em outras palavras, quando para toda sequência <math>x_i \in E</math> cujo limite (em ''E'') seja ''a'', temos que o limite (em ''F'') de <math>f(x_i)</math> é f(a). Uma forma elegante de escrever isso é <math>\lim_{i \rightarrow \infty} f(x_i) = f(\lim_{i \rightarrow \infty} x_i)</math>.▼
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Se E é espaço métrico as definições são equivalentes. Ou seria quando F é espaço métrico?▼
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▲== Definição em termos de limites ==
Uma função <math>f(x)</math> é dita ser contínua em um ponto <math>a</math> de seu domínio se:
:<math>\lim_{x\to a}f(x)=f(a)</math>
Observa-se que esta definição exige que o limite à esquerda exista assim como o limite da direita e que a função esteja definida no ponto com o mesmo valor de limite para o ponto.
== Função
▲Uma função <math>f: E \rightarrow F</math>, em que
Se <math>f: E \to F</math> e <math>g: F \to G</math> são funções contínuas, então é imediato (pela definição usando topologias) que a [[função composta]] <math>g \circ f: E \to G</math> é contínua.▼
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▲Se E é espaço métrico as definições são equivalentes. Ou seria quando F é espaço métrico?
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== Propriedades ==
▲*Função Composta: Se <math>f: E \to F</math> e <math>g: F \to G</math> são funções contínuas, então é imediato (pela definição
*
* O conjunto dos zeros de uma aplicação contínua entre um espaço topológico <math>X</math> e a reta real <math>\mathbb{R}</math>, com a topologia usual, é um conjunto fechado. Em particular, o conjunto das [[matriz singular|matrizes singulares]] é fechado em <math>\mathbb{R}^{n\times n}</math>, pois o determinante define uma aplicação contínua nesse espaço.
* Sejam
==Referências==
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