Função Lipschitz contínua: diferenças entre revisões

Sejam <math>(X,d)\,</math> e <math>(Y,d)\,</math> [[espaço métrico|espaços métricos]]. Uma função <math>f:X\to Y\,</math> é dita '''Lipschitz contínua''' se existir uma constante <math>L\,</math> tal que:

: <math>d\left(f(x),f(y)\right)\leq L d(x,y)\,</math>, <math>\forall x,y\in X\,</math>

O [[ínfimo]] das constantes <math>L\,</math> para o qual a [[desigualdade]] acima é válida é chamado de '''constante de Lipschitz'''.

==Caso particular nos Reaisreais==

Uma função <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\,</math> é dita '''Lipschitz contínua''', se existir uma constante <math>L \geq 0</math> tal que:

Se <math>f\,</math> for diferenciável então:

: <math>\left|\frac{df}{dx}\right|\leq L\,</math>

Uma função <math>f\,</math> é dita '''localmente Lipschitz contínua''' se para cada ponto <math>x\,</math> do domínio existe uma [[vizinhança]] <math>V(x)\,</math> tal que a restrição de <math>f\,</math> a <math>V(x)\,</math> é Lipschitz contínua.

* Uma função <math>f:X\to X\,</math> é dita uma '''contração uniforme''' se sua constante de Lipschitz for menor que 1.

* Uma função <math>f:X\to X\,</math> é dita uma '''contração''' se:

*: <math>d\left(f(x),f(y)\right)< d(x,y),~~\forall x\neq y\in X\,</math>

* Uma função <math>f:X\to Y\,</math> é dita '''[[Função não expansiva|não expansiva]]''' se sua constante de Lipschitz for igual a 1.