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Teorema fundamental da álgebra: diferenças entre revisões

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Em [[matemática]], o '''teorema fundamental da álgebra''' afirma que qualquer polinómio '''p (z)''' com coeficientes complexos de uma variável e de grau '''n ≥ 1''' tem alguma [[Raiz (matemática)|raiz]] complexa. Por outras palavras, o [[Corpo (matemática)|corpo]] dos [[númeroNúmero complexo|números complexos]] é [[Corpo algebricamente fechado|algebricamente fechado]] e, portanto, tal como com qualquer outro corpo algebricamente fechado, a [[equação]] '''p (z) = 0''' tem '''n''' soluções não necessariamente distintas.
 
== História ==
 
[[Peter Rothe]], no seu livro ''Arithmetica Philosophica'' publicado em 1608, escreveu que uma equação [[pollinômio|polinomial]] de grau '''<math>n</math>''' com coeficientes reais pode ter '''<math>n</math>''' soluções. [[Albert Girard]] no seu livro ''L'invention nouvelle en l'Algèbre'' publicado em 1629, afirmou que uma equação polinomial de grau&nbsp;<math>n</math> tem '''<math>a</math>''' soluções, mas não disse que tais soluções eram necessariamente complexos. Além disso, ele disse que a sua afirmação era válida «a menos que a equação seja incompleta», querendo dizer com isto que nenhum [[coeficiente]] é igual a <math>0</math>. No entanto, quando ele explica em detalhe o que quer dizer, torna-se claro que, de fato, ele acredita que a afirmação dele é válida em todos os casos. Por exemplo, ele mostra que a equação
:<math>x^4 = 4x-3,</math>
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Visto que o teorema fundamental da Álgebra afirma que o corpo dos números complexos é algebricamente fechado, decorre do teorema que qualquer enunciado válido para aqueles corpos aplica-se, em particular, aos números complexos. Eis mais algumas consequências daquele teorema, relativas ou ao corpo dos números reais ou à relação entre aquele corpo e o dos números complexos:
 
* O corpo dos números complexos é a aderência algébrica do corpo dos números reais.
* Qualquer polinómio de uma variável <math>x</math> com coeficientes reais é produto de uma constante, polinómios da forma <math>x+a</math> com <math>a</math> real e polinómios da forma <math>x^2+ax+b</math> com <math>a</math> e <math>b</math> reais e <math>a^2-4b<0</math> (que é o mesmo que dizer que o polinómio <math>x^2+ax+b</math> não tem raízes reais).
* Qualquer função racional de uma variável <math>x</math>, com coeficientes reais, pode ser escrita como a soma de uma função polinomial com funções racionais da forma <math>a/(x+b)^n</math> (onde <math>n</math> é um número natural e <math>a</math> e <math>b</math> são números reais) e funções racionais da forma <math>(ax+b)/(x^2+cx+d)^n</math> (onde <math>n</math> é um número natural e <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> e <math>d</math> são números reais tais que <math>c^2-4d<0</math>). Um corolário disto é que qualquer função racional de uma variável com coeficientes reais tem alguma [[primitiva]] elementar.
* Qualquer extensão algébrica do corpo dos números reais é isomorfa àquele corpo ou ao corpo dos números complexos.
 
== Bibliografia ==▼
* A.-L. Cauchy, ''Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique, 1<sup>ère</sup> partie: Analyse Algébrique'', 1992, Éditions Jacques Gabay, ISBN 2-87647-053-5▼
* B. Fine e G. Rosenberger, ''The Fundamental Theorem of Algebra'', 1997, Springer-Verlag, ISBN 0-387-94657-8▼
* C. F. Gauss, «[http://www.fsc.edu/library/documents/Theorem.pdf New Proof of the Theorem That Every Algebraic Rational Integral Function In One Variable can be Resolved into Real Factors of the First or the Second Degree]», 1799▼
* C. Gilain, «Sur l'histoire du théorème fondamental de l'algèbre: théorie des équations et calcul intégral», Archive for History of Exact Sciences, '''42''' (1991), 91–136▼
* E. Netto e R. Le Vavasseur, «Les fonctions rationnelles §80–88: Le théorème fondamental», em ''Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Appliquées, tome&nbsp;I, vol.&nbsp;2'', 1992, Éditions Jacques Gabay, ISBN 2-87647-101-9▼
* R. Remmert, «The Fundamental Theorem of Algebra», em ''Numbers'', 1991, Springer-Verlag, ISBN 0-387-97497-0▼
* D. E. Smith, «A Source Book in Mathematics», 1959, Dover Publications, ISBN 0-486-64690-4▼
* F. Smithies, «[http://www.journals.royalsoc.ac.uk/media/b220d67uql1qqmejxdf1/contributions/2/v/l/u/2vlu5pp8mdtr7cna.pdf A forgotten paper on the fundamental theorem of algebra]», Notes & Records of the Royal Society, '''54''' (2000), 333–341▼
* M. Spivak, ''Calculus'', 1994, Publish or Perish, ISBN 0-914098-89-6▼
* B. L. van der Waerden, ''Algebra I'', 1991, Springer-Verlag, ISBN 0-387-97424-5▼
* C. Baltus, «D’Alembert proof of the fundamental theorem of algebra», Historia Mathematica 31 (2004) 414-428▼
 
 
{{Teoremas fundamentais}}
▲== Bibliografia ==
▲* A.-L. Cauchy, ''Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique, 1<sup>ère</sup> partie: Analyse Algébrique'', 1992, Éditions Jacques Gabay, ISBN 2-87647-053-5
▲* B. Fine e G. Rosenberger, ''The Fundamental Theorem of Algebra'', 1997, Springer-Verlag, ISBN 0-387-94657-8
▲* C. F. Gauss, «[http://www.fsc.edu/library/documents/Theorem.pdf New Proof of the Theorem That Every Algebraic Rational Integral Function In One Variable can be Resolved into Real Factors of the First or the Second Degree]», 1799
▲* C. Gilain, «Sur l'histoire du théorème fondamental de l'algèbre: théorie des équations et calcul intégral», Archive for History of Exact Sciences, '''42''' (1991), 91–136
▲* E. Netto e R. Le Vavasseur, «Les fonctions rationnelles §80–88: Le théorème fondamental», em ''Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Appliquées, tome&nbsp;I, vol.&nbsp;2'', 1992, Éditions Jacques Gabay, ISBN 2-87647-101-9
▲* R. Remmert, «The Fundamental Theorem of Algebra», em ''Numbers'', 1991, Springer-Verlag, ISBN 0-387-97497-0
▲* D. E. Smith, «A Source Book in Mathematics», 1959, Dover Publications, ISBN 0-486-64690-4
▲* F. Smithies, «[http://www.journals.royalsoc.ac.uk/media/b220d67uql1qqmejxdf1/contributions/2/v/l/u/2vlu5pp8mdtr7cna.pdf A forgotten paper on the fundamental theorem of algebra]», Notes & Records of the Royal Society, '''54''' (2000), 333–341
▲* M. Spivak, ''Calculus'', 1994, Publish or Perish, ISBN 0-914098-89-6
▲* B. L. van der Waerden, ''Algebra I'', 1991, Springer-Verlag, ISBN 0-387-97424-5
▲* C. Baltus, «D’Alembert proof of the fundamental theorem of algebra», Historia Mathematica 31 (2004) 414-428
 
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