Combinação linear: diferenças entre revisões

1 644 bytes adicionados ,  6 de novembro de 2013
Inclusão de referências e ajustes na redação; introdução de en:Linear combination; correção do exemplo introduzido por 146.134.23.32 em 2011;
(Ajustes)
(Inclusão de referências e ajustes na redação; introdução de en:Linear combination; correção do exemplo introduzido por 146.134.23.32 em 2011;)
Em [[matemática]] uma '''combinação linear''' é uma expressão construída a partir de um [[conjunto]] de termos multiplicando-se cada um deles por uma constante e somando os resultados (por exemplo, uma conbinação linear de ''x'' e ''y'' seria uma expressão do tipo ''ax'' + ''by'', em que ''a'' e ''b'' são constantes).<ref>Lay, 2006</ref><ref>Strang, 2006</ref><ref>Axler, 2002</ref> O conceito de combinação linear é central na [[álgebra linear]] e em áreas relacionadas da matemática.
Em [[álgebra linear]], uma '''combinação linear''' de um [[conjunto]] ''S'' de [[vector]]es de um [[espaço vectorial]] ''V'' sobre um [[corpo (matemática)|corpo]] ''K'' é uma soma finita
 
== Definição ==
Em [[álgebra linear]], umaUma '''combinação linear''' de um [[conjunto]] ''S'' de [[vector]]es de um [[espaço vectorial]] ''V'' sobre um [[corpo (matemática)|corpo]] ''K'' é uma soma finita
:<math> a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n </math>
onde <math> v_1 ,\ldots, v_n\in S</math> e <math>a_1 ,\ldots, a_n \in K</math>.<ref name="callioli-57">Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 57</ref><ref name="Noble-91">Noble & Daniel, 1986, p. 91</ref>
 
Uma forma equivalente de definir a combinação linear é qualquer soma <math>\sum_{v \in S} a_v \ v \,</math>, desde que a [[função (matemática)|função]] <math>a: S \mapsto K\,</math> tenha suporte finito, ouisto sejaé, <math>a^{-1}(K - \{0\})\,</math> seja um [[conjunto finito]].
 
==Conceitos relacionados==
O conceito de combinação linear é central na álgebra linear do qual dependem vários outros conceitos.
 
* O [[espaço vetorial gerado]] por um conjunto de vetores é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores.
 
* Um conjunto ''S'' de vetores diz-se [[independência linear|linearmente dependente]] se o [[vetor nulo]] é uma combinação linear de vetores de ''S'' com alguns escalares diferentes de zero.
 
== Conceitos relacionados ==
Vários conceitos dependem da noção de combinação linear:
* O [[Espaço vectorial gerado|espaço vetorial gerado]] por um conjunto de vetores é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores.<ref name="callioli-57" />
* Um conjunto ''S'' de vetores diz-se [[independência linear|linearmente dependente]] se o [[vetor nulo]] é uma combinação linear de vetores de ''S'' com algunspelo escalaresmenos diferentesum escalar diferente de zero.
* Reciprocamente, um conjunto ''S'' de vectores é linearmente independente quando a única combinação linear de ''S'' que gera o vector zero é aquela formada por coeficientes zero, ou seja,
: <math>\forall a: S \mapsto K\ \mbox{ de suporte finito }, \sum_{v \in S} a_v \ v = 0 \rightarrowRightarrow \forall v, a_v = 0\,</math>
 
: <math>\forall a: S \mapsto K\ \mbox{ de suporte finito }, \sum_{v \in S} a_v \ v = 0 \rightarrow \forall v, a_v = 0\,</math>
 
== Propriedades ==
 
* Uma combinação linear de combinações lineares também é uma combinação linear. Em outras palavras, seja ''S'' um conjunto (não-vazio) de vectores, seja ''S<sub>1</sub>'' um conjunto (não-vazio) em que cada elemento é uma combinação linear de vectores de ''S'' e seja ''v'' uma combinação linear de vectores de ''S<sub>1</sub>''. Então ''v'' é uma combinação linear de vectores de ''S''.
 
== Exemplo ==
* Suponha que V é um [[espaço vectorial]] ''V'' sobre um [[corpo (matemática)|corpo]] ''F''. O vector <math>(7,2,9) \in \mathbb{R}^3</math> é uma combinação linear do conjunto '''<math>\{(2,1,3),(1,0,1)\}'''</math> porque '''<math>(7,2,9) = 2(2,1,3) + 3(1,0,1)'''</math>. Portanto, <math>(7,2,9) \in \operatorname{span}\{(2,1,3),(1,0,1)\}</math>.
 
== Referências ==
* Suponha que V é um [[espaço vectorial]] ''V'' sobre um [[corpo (matemática)|corpo]] ''F''. O vector (7,2,9) é uma combinação linear do conjunto '''{(2,1,3),(1,0,1)}''' porque '''(7,2,9) = 2(2,1,3) + 3(1,0,1)'''. Portanto, (7,2,9) ∈ span{(2,1,3),(1,0,1)}.
<references />
 
== Bibliografia ==
* {{Citar livro|nome=Carlos A. |sobrenome=Callioli |coautor= Hygino H. Domingues; Roberto C. F. Costa |título=Álgebra Linear e Aplicações |edição=6 |local= São Paulo |editora=Atual |ano=1990 |id=ISBN 9788570562975}}
* {{Citar livro|nome=Ben |sobrenome=Noble |coautor= James W. Daniel |título=Álgebra Linear Aplicada |local= Rio de Janeiro |editora=Prentice-Hall do Brasil |ano=1986|id=ISBN 9788570540225}}
* {{cite book | last=Lay | first=David C. | title=Linear Algebra and Its Applications | publisher=[[Addison–Wesley]] | year=2006 | edition = 3rd | isbn=0-321-28713-4}}
* {{cite book | last=Strang | first=Gilbert | authorlink=Gilbert Strang | title=Linear Algebra and Its Applications | publisher=[[Brooks Cole]] | year=2006 | edition = 4th | isbn=0-03-010567-6}}
* {{cite book | last = Axler | first = Sheldon | title = Linear Algebra Done Right | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer]] | year = 2002 | edition = 2nd | isbn = 0-387-98258-2}}
 
== Ver também ==
* [[Base (álgebra linear)|Base]]
* [[Dimensão (álgebra linear)|Dimensão]]
 
 
{{Álgebra linear}}