Coordenadas hiperbólicas: diferenças entre revisões

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:<math>Q \leftrightarrow HP</math>
 
proporciona a estrutura de [[geometria hiperbólica]] a ''Q'', que é projetada sobre ''HP'' por movimentos hiperbólicos. As ''linhas hiperbólicas'' de Q são [[reta|retas]]s que partem da origem ou curvas em forma de pétala que saem e entram pela origem. O deslocamento da esquerda para a direita de ''HP'' corresponde a um mapeamento comprimido aplicado a ''Q''. Note que as hipérboles de ''Q'' ''não'' representam geodésicas neste modelo.
 
Caso se considere apenas a [[topologia euclidiana]] do plano e a topologia herdada por ''Q'', então a fronteira de ''Q'' parece próxima a ''P''. O espaço métrico ''HP'' mostra que o conjunto aberto ''Q'' possui apenas a origem como fronteira, quando visto como o modelo quadrante do plano hiperbólico. De fato, considere "raios" a partir da origem de ''Q'' e suas imagens, que são os raios verticais da fronteira ''R'' de ''HP''. Qualquer ponto de ''HP'' está a uma distância infinita do ponto ''p'' no pé da normal a ''R'', mas uma seqüência de pontos desta perpendicular pode tender à direção de ''p''. A seqüência correspondente em ''Q'' tende ao longo de um raio em direção à origem. A velha fronteira euclidiana de ''Q'' é irrelevante para o modelo quadrante.
== História ==
 
Enquanto a média geométrica é um conceito antigo, o ângulo hiperbólico é contemporâneo com o desenvolvimento do [[logaritmo]], a última parte do século XVII. [[Grégoire de Saint-Vincent]], [[Marin Mersenne]] e [[Alphonse Antonio de Sarasa]] avaliaram a quadratura da hipérbole como uma função com propriedades agora familiares com o logaritmo e em seguida com a função exponencial, o seno hiperbólico e cosseno hiperbólico. Como a teoria da [[função complexa]] referia-se às [[série infinita|séries infinitas]], as funções circulares seno e cosseno pareciam absorver o seno e o cosseno hiperbólicos como dependente de uma variável imaginária. No século XIX, os [[quatérnio|biquatérnios]] começaram a ser utilizados e mostraram um plano complexo alternativo chamado [[número hipercomplexo|números hipercomplexos]], onde o ângulo hiperbólico é levado a um nível igual ao ângulo clássico. Na literatura inglesa, os biquatérnios foram utilizados para modelar o espaço-tempo e mostrar suas simetrias. Nela, o parâmetro ângulo hiperbólico veio a ser chamado de [[rapidez]]. Para os relativistas, examinando-se o quadrante como um futuro possível entre fótons de direções opostas, o parâmetro média geométrica é temporal.
 
Na relatividade, o foco está na hiper-superfície tridimensional dentro do futuro do espaço-tempo, onde várias velocidades chegam após um tempo próprio dado. Scott Walter<ref>Walter (1999) page 6</ref> explica que em novembro de 1907 [[Minkowski|Herman Minkowski]] especulou sobre uma conhecida geometria tridimensional hiperbólica enquanto falava para a Göttingen Mathematical Society, mas não para uma de quatro dimensões.<ref>Walter (1999) page 8</ref> Em homenagem a [[Wolfgang Rindler]], o autor do livro-texto padrão de nível universitário sobre relatividade, as coordenadas hiperbólicas do espaço-tempo são chamadas de coordenadas de Rindler.
*Scott Walter (1999). [http://www.univ-nancy2.fr/DepPhilo/walter/papers/nes.pdf "The non-Euclidean style of Minkowskian relativity"]. Chapter 4 in: Jeremy J. Gray (ed.), ''The Symbolic Universe: Geometry and Physics 1890-1930'', pp.&nbsp;91–127. [[Oxford University Press]]. ISBN 0198500882.
 
[[Categoria: Sistemas de coordenadas]]
[[Categoria: Geometria]]