Função divisor: diferenças entre revisões
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====Exemplos====
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* σ<sub>-1</sub>(30) é a soma dos inversos dos divisores de 30:
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==Propriedades==
Da definição segue claramente que σ(1) = 1 e ''n'' > 1 se, e somente se, σ(''n'') ≥ 1 + ''n'', pois existem pelo menos dois divisores de ''n'' (1 e o próprio ''n''). De fato, se ''p'' é um [[número primo]] então σ(''p'') = 1 + ''p'', pois apenas 1 e ''p'' dividem ''p''; se ''n'' é [[número composto]] então evidentemente σ(''n'') > 1 + ''n'', pois existem pelo menos mais dois divisores de ''n'' além de 1 e de ''n'' (se ''n'' = ''ab'' então σ(''n'') ≥ 1 + ''a'' + ''b'' + ''ab'').
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====Exemplos====
Utilizando simultaneamente a expressão acima e a obtida anteriormente, e, além disso, tomando-se a função ω(''n'') = ''m'' que para cada inteiro ''n'' = ''p''<sub>1</sub><sup>a1</sup> ''p''<sub>2</sub><sup>a2</sup> ... ''p''<sub>m</sub><sup>am</sup> não nulo associa a quantidade ''m'' de '''fatores primos distintos''' de ''n'', a expressão anterior pode ser reescrita assim:▼
*<math> \sigma(6) = \sigma(2) \sigma(3) = \frac{2^2 - 1}{2 - 1} \cdot \frac{3^2 - 1}{3 - 1} = 3 \cdot \frac{8}{2} = 12 </math>▼
:<math> \sigma_k(n) = \prod_{j=1} ^{\omega(n)} \frac{p_j ^{(a_{j}+1)k} - 1}{p_{j}^k - 1} </math>▼
*<math> \sigma(12) = \sigma(2^2) \sigma(3) = \frac{2^3 - 1}{2 - 1} \cdot \frac{3^2 - 1}{3 - 1} = 7 \cdot \frac{8}{2} = 28 </math>▼
*<math> \sigma(28) = \sigma(2^2) \sigma(7) = \frac{2^3 - 1}{2 - 1} \cdot \frac{7^2 - 1}{7 - 1} = 7 \cdot \frac{48}{6} = 56 </math>▼
▲Utilizando
▲:<math> \sigma_k(n) = \prod_{j=1} ^{\omega(n)} \frac{p_j ^{(a_{j}+1)k} - 1}{p_{j}^k - 1} = \prod_{j=1} ^{\omega(n)} p_j ^{a_j k} \left( 1 + \frac{1 - p_j ^{-a_j k}}{p_j ^k - 1} \right) </math>
==Números perfeitos==
Um conceito pertinente aos números naturais, estudado desde a Grécia Antiga, é o de '''abundância'''. O uso da função σ permite definir abreviadamente o seu significado, de forma que um natural ''n'' é chamado:
* '''abundante''', se σ(''n'') > 2''n''
* '''perfeito''', se σ(''n'') = 2''n''
* '''deficiente''', se σ(''n'') < 2''n''
====Exemplos====
* 12 é abundante
▲*<math> \sigma(6) = \sigma(2) \sigma(3) = \frac{2^2 - 1}{2 - 1} \cdot \frac{3^2 - 1}{3 - 1} = 3 \cdot \frac{8}{2} = 12 </math>
* 6 é perfeito
▲*<math> \sigma(12) = \sigma(2^2) \sigma(3) = \frac{2^3 - 1}{2 - 1} \cdot \frac{3^2 - 1}{3 - 1} = 7 \cdot \frac{8}{2} = 28 </math>
* 1 é deficiente
▲*<math> \sigma(28) = \sigma(2^2) \sigma(7) = \frac{2^3 - 1}{2 - 1} \cdot \frac{7^2 - 1}{7 - 1} = 7 \cdot \frac{48}{6} = 56 </math>
Todo [[número perfeito]] conhecido é par e possuem estreita relação com os chamados [[primos de Mersenne]]. O mais antigo problema em aberto em toda a [[Matemática]], que remonta aos gregos clássicos, consiste em provar a existência ou não de '''números perfeitos ímpares'''.
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