Função de Möbius: diferenças entre revisões
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== Definição ==
[[Imagem:MoebiusMu.PNG|thumb|400px|A função de Möbius.]]
Denotada por μ(''n''), a função de Möbius possui em seu [[Domínio (matemática)|domínio de definição]] todos os [[número natural|números naturais]]
* '''μ(''n'') = 0''' se ''n'' tem como divisor um outro número natural ao quadrado;
* '''μ(''n'') = 1''' se ''n'' não tem como divisor um outro número natural ao quadrado e é decomposto em uma quantidade par de [[número primo|números primos]];
* '''μ(''n'') = -1''' se ''n'' não tem como divisor um outro número natural ao quadrado e é decomposto em uma quantidade ímpar de números primos.
Ainda define-se '''μ(1) = 1'''. O valor '''μ(0)''' é geralmente deixado indefinido. O software [[Maple]] define-o como sendo -1.
Em conformidade com a definição acima, para estabelecer o valor de μ(''n'') faz-se necessário conhecer a [[Teorema fundamental da álgebra|fatoração]] de ''n'', o que por vezes dificulta muito o cálculo da função. Outra forma de definir a Função de Möbius é por meio da expressão dada a seguir<ref>'''Hardy,
:<math>\mu(n) = \sum_{\stackrel{1\le k \le n }{ (k,\,n)=1}} e^{2\pi i \tfrac{k}{n}}.</math>
Contudo, a complexidade computacional para esse cálculo (que se fundamenta na determinação de [[Raiz da unidade|raízes da unidade]]) resulta em um custo semelhante ao do cálculo do [[produto de Euler]].
== Propriedades ==
Entre as diversas propriedades satisfeitas pela função estão as seguintes:
* <math>\sum_{d | n} \mu(d) = \left\{\begin{matrix}1&\mbox{ se } n=1\\
0&\mbox{ se } n>1\end{matrix}\right.</math>
De fato, se '''''n'' = 1''', o resultado é imediato. Para o caso de '''''n'' > 1''', uma vez que μ é [[Função multiplicativa|multiplicativa]], é suficiente tomar '''''n = p<sup>k</sup>''''', em que ''p'' é um primo qualquer. Como todos os divisores de ''p<sup>k</sup>'' estão no conjunto {1, ''p'', ..., ''p<sup>k</sup>''}, então
<math>\sum_{i=0}^k \mu (p^i) = 1 - 1 = 0 \,</math>.
* <math>\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\mu(k)}{k^s}=\frac{1}{\zeta(s)}</math>
em que <math>\zeta(s)</math> é a [[função zeta de riemann]]
==Ligações externas==
* Weisstein, Eric W. "Möbius Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. [http://mathworld.wolfram.com/MoebiusFunction.html Möbius Function] (em [[inglês]]).
* Weisstein, Eric W. "Möbius Inversion." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. [http://mathworld.wolfram.com/MoebiusInversionFormula.html Möbius Inversion] (em [[inglês]]).
== Ver também ==
* [[Função de Liouville]]
* [[Função de Mertens]]
* [[Soma de Ramanujan]]
{{Referências}}
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