Função de Möbius: diferenças entre revisões
Conteúdo apagado Conteúdo adicionado
m Desfeita a edição 38376993 de Caliberatol: outra vez? +correções automáticas (v0.37/3.1.35) |
|||
Linha 1:
{{sem-fontes|data=Abril de 2013}}
A clássica '''função de Möbius''' μ(''n'') é uma [[função (matemática)|função]] [[função multiplicativa|multiplicativa]] na [[Teoria dos números|Teoria dos Números]] e [[Combinatória]]. Tem esse nome em homenagem ao matemático alemão [[August Ferdinand Möbius]], que foi o primeiro a defini-la em [[1831]].
== Definição ==
Linha 8 ⟶ 9:
* '''μ(''n'') = 0''' se ''n'' tem como divisor um outro número natural ao quadrado;
* '''μ(''n'') = 1''' se ''n'' não tem como divisor um outro número natural ao quadrado e é decomposto em uma quantidade par de [[número primo|números primos]];
* '''μ(''n'') = -1''' se ''n'' não tem como divisor um outro número natural ao quadrado e é decomposto em uma quantidade ímpar de números primos.
Ainda define-se '''μ(1) = 1'''. O valor '''μ(0)''' é geralmente deixado indefinido. O software [[Maple]] define-o como sendo -1.
Em conformidade com a definição acima, para estabelecer o valor de μ(''n'') faz-se necessário conhecer a [[Teorema fundamental da álgebra|fatoração]] de ''n'', o que por vezes dificulta muito o cálculo da função.
Outra forma de definir a Função de Möbius é por meio da expressão dada a seguir<ref>'''Hardy, G. H.; Wright, E. M'''. ''An Introduction to the Theory of Numbers''. Oxford: Oxford University Press, 1980, 5 ed., ISBN 978-0-19-853171-5</ref>, a qual é capaz de fornecer o valor de μ(''n'') sem a necessidade de conhecer os fatores primos de ''n'': :<math>\mu(n) = \sum_{\stackrel{1\le k \le n }{ (k,\,n)=1}} e^{2\pi i \tfrac{k}{n}}.</math>
Contudo, a complexidade computacional para esse cálculo (que se fundamenta na determinação de [[Raiz da unidade|raízes da unidade]]) resulta em um custo semelhante ao do cálculo do [[produto de Euler]].
== Propriedades ==
Entre as diversas propriedades satisfeitas pela função estão as seguintes:
* <math>\sum_{d | n} \mu(d) = \left\{\begin{matrix}1&\mbox{ se } n=1\\▼
* '''Propriedade 1''':
0&\mbox{ se } n>1\end{matrix}\right.</math>
De fato, se '''''n'' = 1''', o resultado é imediato. Para o caso de '''''n'' > 1''', uma vez que μ é [[Função multiplicativa|multiplicativa]], é suficiente tomar '''''n = p<sup>k</sup>''''', em que ''p'' é um primo qualquer. Como todos os divisores de ''p<sup>k</sup>'' estão no conjunto {1, ''p'', ..., ''p<sup>k</sup>''}, então
:<math>\sum_{i=0}^k \mu (p^i) = \sum_{i=0}^k \mu (p^i) - \sum_{i=0}^k \mu (p^i) = 1 - 1 = 0 \,</math>.
* <math>\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\mu(k)}{k^s}=\frac{1}{\zeta(s)}</math>▼
* '''Propriedade 2:''' Se <math>s \in \mathbb{C}</math> com '''''Re'''''(''s'') '''> 1''' então
▲
A demonstração de tal igualdade parte da [[função zeta de riemann]], dada por <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} = \zeta(s)</math>.
* '''Propriedade 3:''' Um enunciado equivalente à hipótese de Riemann (localização dos zeros não triviais da função meromorfa <math>\zeta : \mathbb{C} \setminus \left \{1 \right \} \rightarrow \mathbb{C}</math>) é o seguinte: para cada ε > 0, tem-se
:<math> \lim_{n \in \mathbb{N}} \frac{\sum _{k=1}^{n} \mu(k)}{n^{{\frac{1}{2}} + \epsilon}} = 0</math>
{{Referências}}▼
== Ligações externas ==
* Weisstein, Eric W. "Möbius Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. [http://mathworld.wolfram.com/MoebiusFunction.html Möbius Function] {{en}}.
* Weisstein, Eric W. "Möbius Inversion." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. [http://mathworld.wolfram.com/MoebiusInversionFormula.html Möbius Inversion] {{en}}.
== Ver também ==
* [[Função de Liouville]]
* [[Função de Mertens]]
* [[Soma de Ramanujan]]
▲{{Referências}}
{{Portal|matemática}}
| |||