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[[Imagem:Lorenz attractor yb.svg|thumb|200px|rightdireita||O [[atractor de Lorenz|atrator de Lorenz]] é um exemplo de sistema dinâmico não-linear. O estudo deste sistema incentivou a criação da [[teoria do Caos]].]]
Na [[física matemática]] e na [[matemática]], o conceito de '''sistema dinâmico''' nasce da exigência de construir um modelo geral de todos os [[sistema]]s que evoluem segundo uma regra que liga o estado presente aos estados passados.
==História==
== História ==
Os primórdios da teoria dos sistemas dinâmicos podem ser identificados já no século XVI, nos trabalhos de mecânica celeste escritos por [[Kepler|Johannes Kepler]]. As contribuições de [[Newton|Isaac Newton]] à modelagem matemática através da formalização da mecânica clássica abriram espaço para uma sofisticação crescente do aparato matemático que modela fenômenos mecânicos, culminando nos trabalhos de Lagrange e Hamilton, que definiram a teoria da mecânica clássica num contexto matemático, que essencialmente é o mesmo estudado até hoje.
O matemático francês [[Henri Poincaré]] é considerado um dos criadores da teoria moderna dos sistemas dinâmicos, tendo introduzido muitos dos aspectos do estudo qualitativo das equações diferenciais que permitiram estudar propriedades assintóticas das soluções (ou da maior parte das soluções) de uma equação diferencial, como [[Estabilidade assimptótica|estabilidade]] e periodicidade, sem ser necessário resolver explicitamente a equação diferencial. Tal abordagem pode ser encontrada na sua obra-prima ''Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste'', publicada em três volumes entre 1892 e 1899.
Considera-se que o primeiro livro publicado na área de sistemas dinâmicos é a obra ''[http://www.ams.org/online_bks/coll9/ Dynamical Systems]'', escrita pelo matemático estado-unidense George Birkhoff, e publicada em 1927.
Entre as ferramentas mais utilizadas na teoria dos sistemas dinâmicos estão a geometria diferencial, a teoria da medida e a geometria simplética.
== Definição ==
Sejam <math>X</math> um [[espaço topológico]] e <math>\scriptstyle (G,.)</math> um semigrupo topológico.
Dizemos que um sistema dinâmico é um par <math>\scriptstyle (X,A),</math>, onde <math>\scriptstyle A:X \times G \rightarrow X </math> é uma aplicação contínua que satisfaz:
* '''<math>\scriptstyle A\left( A(x,g),h \right) = A(x,g.h)</math>''', se <math>\scriptstyle x \in X</math> e <math>g,h \in G,</math>, e
* <math>\scriptstyle A\left(x,e\right) = x</math>, onde <math>\scriptstyle x \in X</math> e <math>\scriptstyle e</math> é o elemento neutro do grupo.
=== Subáreas ===
* '''<math>\scriptstyle A\left(x,e\right) = x</math>''', onde <math>\scriptstyle x \in X</math> e ''<math>\scriptstyle e</math>'' é o elemento neutro do grupo.
===Subáreas===
Os seguintes campos de estudos são, atualmente, considerados como subáreas da teoria dos sistemas dinâmicos, e são inspirados de muitas maneiras por problemas da [[física]], [[computação]], [[economia]] e [[biologia]]:
* Teoria ergódica
* [[Dinâmica unidimensional]]
* [[Hiperbolicidade parcial|Dinâmica parcialmente hiperbólica]]
* [[Dinâmica simbólica]]
* [[Sistemas hamiltonianos]]
== Terminologia e notação ==
Geralmente, escrevemos '''<math>\scriptstyle g.x </math>''' para representar o elemento '''<math>\scriptstyle A\left(x,g\right)</math>''' de '''<math>\scriptstyle X</math>'''.
No caso em que <math>\scriptstyle G = \mathbb{R} ,</math>, dizemos que <math>\scriptstyle (X,A) </math> é um sistema dinâmico contínuo. No caso em que <math>\scriptstyle G = \mathbb{N}</math> ou <math>\scriptstyle \mathbb{Z},</math>, dizemos que <math>\scriptstyle (X,A)</math> é um sistema dinâmico discreto.
Quando '''<math>\scriptstyle G</math>''' não é um grupo, dizemos que '''<math>\scriptstyle \left(X,A\right)</math>''' é um sistema semidinâmico.
Geralmente, os sistemas dinâmicos discretos são definidos da seguinte maneira: se <math>\scriptstyle f:X \rightarrow X </math> é um homeomorfismo de um espaço topológico nele mesmo, definimos <math>\scriptstyle A \left(x,k\right) = f^{k}(x) ,</math>, onde <math>\scriptstyle x \in X,</math>, e <math>\scriptstyle k \in \mathbb{Z}.</math>. Os sistemas dinâmicos definidos desta forma são os objetos de estudo da dinâmica topológica.
Já os sistemas dinâmicos contínuos são, quase sempre, definidos quando '''<math>\scriptstyle X </math>''' é uma [[Variedade (matemática)|variedade]] suave, e '''<math>\scriptstyle A </math>''' é um fluxo definido a partir de um [[campo vetorial]] diferenciável sobre '''<math>\scriptstyle M </math>'''.
Seguindo a notação das definições anteriores, dizemos que:
* <math> X </math> é o espaço de fase do sistema dinâmico.
* <math>\{G.x\}=\{g.x \mid g \in G\}</math> é chamada de órbita de um <math> x \in X.</math>
== Exemplos de comportamentos dinâmicos ==
* <math>\{G.x\}=\{g.x \mid g \in G\}</math> é chamada de órbita de um <math> x \in X</math>.
* O tipo mais simples de comportamento dinâmico de uma órbita é a de um ponto fixo. Por definição, um ponto <math>\scriptstyle x </math> é ponto fixo caso sua órbita se reduza a somente um ponto.
Por exemplo, considerando o sistema dinâmico discreto sobre a reta real <math>\scriptstyle \mathbb{R} </math> definido pelas iterações da aplicação <math>\scriptstyle x \mapsto -x ,</math> temos que o ponto 0 é um ponto fixo.
==Exemplos de comportamentos dinâmicos==
*O tipo mais simples de comportamento dinâmico de uma órbita é a de um ponto fixo. Por definição, um ponto <math>\scriptstyle x </math> é ponto fixo caso sua órbita se reduza a somente um ponto.
Por* exemploEm seguida, considerandotemos que o sistemacomportamento dinâmico discretomais sobresimples apara retaum real <math>\scriptstyle \mathbb{R} </math> definido pelas iterações da aplicaçãoponto <math>\scriptstyle x \mapstoin -xX </math>, temospode que o ponto 0ter é um pontoa fixoperiodicidade.
*EmIsto seguida, temossignifica que oexiste comportamentoum dinâmicoelemento maisdo simples para um pontogrupo <math>\scriptstyle xg \in XG </math> podetal terque é<math>\scriptstyle aA\left(x,g\right) = x periodicidade.</math>
No caso de um sistema discreto, têm-se que a órbita de <math>\scriptstyle x </math> é um conjunto finito.
Isto significa que existe um elemento do grupo <math>\scriptstyle g \in G </math> tal que <math>\scriptstyle A\left(x,g\right) = x </math>.
Ou seja, existe <math>\scriptstyle n \in \mathbb{N}</math> maior que um, e <math>\scriptstyle x \in X</math> tais que <math>\scriptstyle A\left(x,n\right) = x ,</math> devemos ter, necessariamente, que a órbita de <math>\scriptstyle x </math> é o conjunto <math>\scriptstyle \left \{x,A\left(x,1\right),\dots,A\left(x,n-1\right)\right \}.</math>
No caso de um sistema discreto, têm-se que a órbita de <math>\scriptstyle x </math> é um conjunto finito.
Ou seja, existe <math>\scriptstyle n \in \mathbb{N}</math> maior que um, e <math>\scriptstyle x \in X</math> tais que <math>\scriptstyle A\left(x,n\right) = x </math>, devemos ter, necessariamente, que a órbita de <math>\scriptstyle x </math> é o conjunto <math>\scriptstyle \left \{x,A\left(x,1\right),\dots,A\left(x,n-1\right)\right \}</math>.
No caso do exemplo anterior, temos que os pontos <math>\scriptstyle 1 </math> e <math>\scriptstyle -1</math> são ambos pontos periódicos de período 2.
No caso de um sistema dinâmico contínuo, é possível mostrar que uma órbita periódica é [[homeomorfismo|homeomorfa]] a um [[círculo]].
* Os exemplos acima estão incluídos numa classe de subconjuntos chamados de subconjuntos invariantes pela dinâmica. Dizemos <math>\scriptstyle S \subset X </math> é invariante caso a órbita de um ponto <math>\scriptstyle x \in S </math> está contida em <math>\scriptstyle S .</math>.
São de especial interesse os conjuntos invariantes compactos e minimais com esta propriedade. Dizemos que <math>\scriptstyle S </math> é minimal caso seja invariante, compacto, e não contenha nenhum subconjunto próprio invariante.
São de especial interesse os conjuntos invariantes compactos e minimais com esta propriedade. Dizemos que <math>\scriptstyle S </math> é minimal caso seja invariante, compacto, e não contenha nenhum subconjunto próprio invariante.
Em particular, temos que todo elemento <math>\scriptstyle x </math> de um conjunto minimal <math>\scriptstyle S </math> possui órbita densa em <math>\scriptstyle S </math>, já que caso contrário, teríamos que o fecho da órbita de <math>\scriptstyle x </math> é um subconjunto invariante e compacto contido em <math>\scriptstyle S </math>.
Em particular, temos que todo elemento <math>\scriptstyle x </math> de um conjunto minimal <math>\scriptstyle S </math> possui órbita densa em <math>\scriptstyle S ,</math> já que caso contrário, teríamos que o fecho da órbita de <math>\scriptstyle x </math> é um subconjunto invariante e compacto contido em <math>\scriptstyle S .</math>
A seguir, consideramos um sistema dinâmico discreto definido por um homeomorfismo <math>\scriptstyle f:X \rightarrow X </math>:
A seguir, consideramos um sistema dinâmico discreto definido por um homeomorfismo <math>\scriptstyle f:X \rightarrow X :</math>
*Dizemos que um conjunto compacto <math>\scriptstyle \Lambda \subset X </math> é um atrator caso exista uma vizinhança <math>\scriptstyle U </math> de <math>\scriptstyle \Lambda</math> tal que <math>\scriptstyle f(U) \subset U</math> e <math>\scriptstyle \Lambda=\bigcap_{k \geq 0}f^k(U)</math>.
* Dizemos que um conjunto compacto <math>\scriptstyle \Lambda \subset X </math> é um atrator caso exista uma vizinhança <math>\scriptstyle U </math> de <math>\scriptstyle \Lambda</math> tal que <math>\scriptstyle f(U) \subset U</math> e <math>\scriptstyle \Lambda=\bigcap_{k \geq 0}f^k(U).</math>
*Um [[Atractor|atractor estranho]] é um atractor que possui dimensão de Hausdorff superior à sua dimensão topológica. Exemplos de atractores estranhos são os atratores de Henon e diversos tipos de ferradura de Smale.
* Um [[Atractor|atractor estranho]] é um atractor que possui dimensão de Hausdorff superior à sua dimensão topológica. Exemplos de atractores estranhos são os atratores de Henon e diversos tipos de ferradura de Smale.
{{Referências}}
==Sistemas Dinâmicos na Física Clássica==
=== [[Equações diferenciais]] ===
As [[Cinemática#Equa.C3.A7.C3.B5es_cinem.C3.A1ticas|equações cinemáticas]] são um exemplo de equações diferenciais. As equações diferenciais aparecem em muitas outras áreas da ciência e da engenharia; uma forma de estudar esse tipo de equações consiste em usar uma analogia com os sistemas estudados na [[mecânica clássica|mecânica]].<ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 28 jun. 2013.</ref>
* [[George David Birkhoff|Birkhoff, G.]] (1927) ''Dynamical Systems''. Ed. AMS books. ISBN 0-8218-3394-4.
Por exemplo, em muitos problemas em diversas áreas encontram-se equações semelhantes
* [[Henri Poincaré|Poincaré, H.]] ''Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste''. Gauthier-Villars, 1893. Vol. 1-3. Republicado por Blanchard, Paris, 1993.
às equações de um pêndulo ou de um bloco ligado a uma mola elástica.
* Hasselblatt, B. e [[Anatole Katok|Katok, A.]] (1997) "The modern theory of dynamical systems." ''Encyclopedia of mathematics and its applications'', 57. Cambridge University Press.
A resolução das equações cinemáticas é simplificada com a introdução dos
[[vetor|vetores]], que permitem combinar as equações das componentes em vez de considerar cada
componente por separado.
O problema pode ser simplificado ainda mais, combinando
a posição e a velocidade num único vetor, num espaço com seis dimensões.
===Variáveis de estado e espaço de fase===
[[Imagem:O estado de uma partícula em qualquer instante é definido pelo vetor de posição e pela velocidade.png|thumb|right|300px|O estado de uma partícula em qualquer instante é definido pelo vetor de posição e pela velocidade]]
Um sistema dinâmico é caraterizado pelas forças que atuam sobre ele. Para estudar um sistema determinado, admite-se que as forças são bem conhecidas. Uma vez estabelecidas as forças, o tipo de movimento que terá o sistema dependerá das condições iniciais; isto é, conhecidas a posição e a velocidade de um corpo num instante inicial, consegue-se prever quais serão a posição e velocidade em qualquer instante posterior.<ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 28 jun. 2013.</ref>
Os vetores posição, <math>\scriptstyle \vec{r}</math>, e velocidade, <math>\scriptstyle \vec{v}</math>, de uma partícula definem o seu estado em cada instante. Esses dois vetores terão um valor único a cada instante <math>\scriptstyle t</math>.
As três componentes da posição, junto com as três componentes da velocidade constituem um espaço a seis dimensões chamado '''espaço de fase'''.
Quando se considera a projeção do movimento ao longo de um único eixo, é mais fácil visualizar o espaço de fase, por ser um plano. Nesse caso, a posição da partícula pode ser definida por uma coordenada <math>\scriptstyle x</math>. <ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 28 jun. 2013.</ref>
O espaço de fase é constituído por <math>\scriptstyle x</math> e a componente da velocidade, <math>\scriptstyle v_x</math>. A figura abaixo mostra o espaço de fase, com a posição <math>\scriptstyle x</math> no eixo das abcissas e a componente da velocidade <math>\scriptstyle v_x</math> no eixo das ordenadas.<ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 28 jun. 2013.</ref>
A cada instante, o estado da partícula pode ser qualquer ponto do plano de fase. Se num instante inicial a partícula se encontra na posição <math>\scriptstyle x_0</math>, com componente da velocidade <math>\scriptstyle v_{x,0}</math>, o estado nos instantes seguintes são os pontos de uma curva contínua a partir do ponto (<math>\scriptstyle x_0</math>,<math>\scriptstyle v_{x,0}</math>).
[[File:Espaço de fase da projeção do movimento de uma partícula segundo o eixo x.png|thumb|right|300px|Espaço de fase da projeção do movimento de uma partícula segundo o eixo <math>\scriptstyle x</math>]]
A evolução do sistema em função do tempo é dada por uma curva contínua no espaço de fase; a curva não pode ter nenhuma descontinuidade porque a posição e a velocidade não podem mudar abruptamente de um valor para outro diferente, sem ter passado antes por todos os valores intermédios. Por cada ponto do espaço de fase passa uma única '''curva de evolução do sistema'''.
===Campo de direções===
Na figura ao lado, o ponto (<math>\scriptstyle x</math>, <math>\scriptstyle v_x</math>) que representa o estado da partícula a cada instante, desloca-se na direção dos dois eixos. <ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 28 jun. 2013.</ref>
O deslocamento na direção do eixo dos <math>\scriptstyle x</math>, por unidade de tempo, é igual à derivada <math>\scriptstyle \dot{x}</math> (a própria componente <math>\scriptstyle v_x</math> da velocidade) e o deslocamento na direção do eixo <math>\scriptstyle v_x</math>, por unidade de tempo, é igual á derivada <math>\scriptstyle \dot{v_x}</math> (componente <math>\scriptstyle a_x</math> da aceleração).
Assim sendo, o estado da partícula desloca-se, no espaço de fase, com velocidade,
<math>
\vec{u} = v_x\,\vec{e}_x + a_x\,\vec{e}_{v_x}
</math>
esse vetor chama-se '''velocidade de fase'''. Em cada ponto do espaço de fase, a velocidade de fase é um vetor tangente à curva de evolução que passa por esse ponto.
A figura mostra as componentes da velocidade de fase em vários pontos do espaço de fase. Esse tipo de desenho designa-se de '''campo de direções'''.
A figura mostra também uma das curvas de evolução do sistema no espaço de fase. O movimento correspondente a essa curva de evolução é o seguinte: O estado inicial O da curva mostra que a partícula partiu desde uma a posição inicial <math>\scriptstyle x_0 >0</math> e com velocidade <math>\scriptstyle v_x</math> negativa; o vetor velocidade de fase nesse instante mostra novamente que a velocidade é negativa (<math>\scriptstyle \vec{u}</math> para a esquerda) mas a aceleração <math>\scriptstyle a_x</math> é positiva (<math>\scriptstyle \vec{u}</math> para cima); isso implica que a partícula está a abrandar.
O estado P corresponde ao instante em que a partícula passa pela origem (<math>\scriptstyle x=0</math>) com velocidade ainda negativa.
A direção de <math>\scriptstyle \vec{u}</math> nesse instante, no sentido negativo do eixo dos <math>\scriptstyle x</math>, indica que a aceleração é nula, mas como a velocidade é negativa continua a deslocar-se para valores negativos de <math>\scriptstyle x</math>. <ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 28 jun. 2013.</ref>
No instante em que o estado é Q, a partícula fica em repouso num ponto <math>\scriptstyle x_1<0</math>; a velocidade de fase nesse ponto é necessariamente paralela ao eixo das ordenadas, porque a velocidade é nula e o sentido para cima indica que a aceleração é positiva e a velocidade está a aumentar. <ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 28 jun. 2013.</ref>
No instante em que o estado é R, a partícula passa novamente pela origem mas desta vez com velocidade positiva e a partícula continuará sempre a afastar-se da origem sem voltar para atrás.
Observe-se que a velocidade de fase aponta sempre no sentido positivo do eixo <math>\scriptstyle x</math> nos dois primeiros quadrantes do espaço de fase, porque nesses quadrantes o valor da velocidade é sempre positivo, e nos terceiro e quarto quadrantes aponta sempre no sentido negativo do eixo <math>\scriptstyle x</math>, porque nesses quadrantes o valor da velocidade é negativo. <ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 28 jun. 2013.</ref>
[[File:Velocidade de fase em vários pontos do espaço de fase e uma curva de evolução de sistema.png|thumb|right|200px|Velocidade de fase em vários pontos do espaço de fase e uma curva de evolução do sistema]]
Nos pontos do eixo <math>\scriptstyle x</math>, a velocidade de fase é sempre perpendicular ao eixo, porque a velocidade<math>\scriptstyle v_x</math> é nula em todos esses pontos. Assim sendo, as curvas de evolução do sistema deslocam-se no sentido positivo de <math>\scriptstyle x</math> nos dois primeiros quadrantes, e no sentido negativo nos outros dois quadrantes.
===Pontos de equilíbrio===
Em cada ponto do espaço de fase, a velocidade de fase indica a direção e sentido que
seguirá a curva de evolução que passa por esse ponto. Nos pontos onde a velocidade de
fase for nula, não existirá nenhuma curva que passe por esse ponto. Nesse caso o estado da
partícula permanece constante.
Do ponto de vista físico, para que as duas componentes da velocidade de fase sejam nulas,
será preciso que tanto a velocidade como a aceleração sejam nulas. Isso implica que o
sistema estará num estado de '''equilíbrio estático''', em que a força resultante e a velocidade
são nulas e o estado permanece em repouso. Assim, os '''pontos de equilíbrio''' de um
sistema, serão os pontos do espaço de fase em que a velocidade de fase é nula.
É de salientar que todos os pontos no eixo das abcissas no espaço de fase correspondem
a estados de repouso (velocidade nula). Alguns desses estados também serão estados de
equilíbrio estático, se a força nesses pontos for nula; esses são os pontos definidos como
pontos de equilíbrio do sistema dinâmico.
Os pontos de equilíbrio do sistema dinâmico estarão todos localizados no eixo das abcissas.
Nos pontos do eixo das abcissas onde a velocidade de fase não for nula, o sistema permanece em repouso apenas durante um instante, retomando imediatamente o seu movimento.
Um estado de '''equilíbrio dinâmico''' é um estado em que a força resultante é nula mas o
sistema continua com movimento uniforme. No espaço de fase esse estado corresponderia
a uma evolução em linha reta paralela ao eixo da posição (velocidade de fase na direção
desse eixo).
=== Sistemas autônomos ===
[[Imagem:Posição e velocidade em função do tempo no caso de um ciclo (esquerda) e de uma órbita homoclínica..png|thumb|right|300px|Posição e velocidade em função do tempo no caso de um ciclo (esquerda) e de uma '''órbita homoclínica'''.]]
Quando a força resultante que atua sobre a partícula não depender do tempo, diz-se que o
sistema é um '''sistema autônomo'''. '''Do ponto de vista [[física|físico]]''', um sistema será autônomo se, sempre que for colocado no mesmo estado inicial, a sua evolução for a mesma.<ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 28 jun. 2013.</ref>
Os sistemas que observamos na natureza costumam ter essa propriedade. As leis físicas
são as mesmas em qualquer instante; se repetirmos uma experiência física uns dias mais
tarde, o resultado deverá ser o mesmo. Quando isso não acontecer, será um sinal de que
falta alguma informação adicional sobre outros fatores físicos externos.
Assim, num sistema autônomo a força resultante dependerá unicamente do estado do
sistema: posição e velocidade. Claro está que a posição e a velocidade podem ser escritas
em função do tempo e, consequentemente a força depende implicitamente do tempo, mas
não existe nenhuma dependência explícita no tempo. As causas que dão origem à força
são independentes do tempo.<ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 28 jun. 2013.</ref>
Num sistema que não seja autônomo, para poder definir a velocidade de fase, num ponto
do espaço de fase, é preciso saber a posição, a velocidade e o tempo. Portanto, o estado
completo de um sistema não autônomo inclui também o tempo; o espaço de fase é formado
pela posição, a velocidade e o tempo. O tempo passa a ser mais uma variável de estado.
===Sistemas conservativos===
Se a força resultante sobre a partícula for conservativa, será
possível definir uma função de energia potencial. Se a componente da força depende
unicamente da posição <math>\scriptstyle x</math>, o sistema é conservativo. <ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) [[ISBN]] 978-972-99396-1-7. Acesso em 28 jun. 2013.</ref>
A energia potencial <math>\scriptstyle U</math> calcula-se a partir da primitiva da componente da força da ([[Forças_conservativas#Teorema_do_Trabalho_e_Energia_Potencial|equação]]):
<math>
U = - \int_{x_\text{ref}}^x F_x\,\mathrm{d}\,x
</math>
{{referências}}
*[[George David Birkhoff|Birkhoff, G.]] (1927) ''Dynamical Systems''. Ed. AMS books. ISBN 0-8218-3394-4.
*[[Poincaré|Poincaré, H.]] ''Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste''. Gauthier-Villars, 1893. Vol. 1-3. Republicado por Blanchard, Paris, 1993.
*Hasselblatt, B. e [[Anatole Katok|Katok, A.]] (1997) "The modern theory of dynamical systems." ''Encyclopedia of mathematics and its applications'', 57. Cambridge University Press.
==Ver também==
*[[Sistema dinâmico não linear]]
*[[Sistema dinâmico de Liouville]]
*[[Sistema dinâmico discreto]]
*[[Sistema dinâmico contínuo]]
== Ver também ==
* [[Sistema dinâmico não linear]]
* [[Sistema dinâmico de Liouville]]
* [[Sistema dinâmico discreto]]
* [[Sistema dinâmico contínuo]]
{{Sistemas de ciência}}
{{Matemática industrial e aplicada}}
[[Categoria:Sistemas dinâmicos|*]]
[[Categoria:Sistemas dinâmicos| ]]
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