Forma diferencial: diferenças entre revisões
Conteúdo apagado Conteúdo adicionado
m →Operações em formas: correção de erro gramatical. |
m Desambiguando ligações a Variedade com DisamAssist. |
||
Linha 1:
{{sem notas|data=fevereiro de 2011| angola=| arte=| Brasil=| ciência=| geografia=| música=| Portugal=| sociedade=|1=Este artigo ou secção|2=|3=|4=|5=|6=}}
Em [[geometria diferencial]], é um objeto matemático pertencente a um [[espaço vetorial]] que aparece no [[Cálculo com múltiplas variáveis|cálculo multivariável]], [[cálculo tensorial]] ou em [[física]]. Comumente uma '''forma diferencial''' pode ser entendida como um operador multilinear antissimétrico definido sobre o espaço vetorial tangente a uma [[Variedade (matemática)|variedade diferenciável]]. Em um espaço ou variedade de dimensão ''n'', podem definir-se 0-formas, [[forma um|1-formas]], ... e ''n''-formas. Pela propriedade da antissimetria, as ''k''-formas para ''k > n'' são identicamente nulas.
O conceito de forma diferencial é uma generalização sobre idéias prévias como o gradiente, a divergência, o rotacional, etc. Essa generalização e a moderna notação usada no estudo das formas diferenciais se deve a [[Elie Cartan]].
== 0-formas, 1-formas e ''k''-formas ==
O exemplo não trivial mais notável de uma forma diferencial é constituido pelas '''[[1-forma]]s''', também chamadas '''formas pfaffianas'''. Estas formas são a maneira rigorosa de tratar os diferenciais das funções reais sobre uma variedade (para funções ordináras a variedade é simplesmente o espaço euclidiano, <math>\mathbb{R}^n</math>). As 1-formas também aparecem em física, assim por exemplo as "diferenciais" das [[função de estado|variáveis de estado]] usadas em [[termodinâmica]] são de fato 1-formas (ainda que o tratamento informal das mesmas despreza esse fato). Na [[geometria diferencial]] o estudo das [[
Outro exemplo, um tanto trivial são as funções reais definidas sobre uma variedade, que podem ser tratadas formalmente como '''0-formas'''. O nome é justificado porque existe um operador denominado diferencial exterior, que aplica ''k''-formas em ''k''+1-formas, dado que a diferencial exterior de uma função real é [[forma um|1-forma]], é conveniente se chamar 0-formas aos objetos matemáticos, como as funções reais, cuja diferencial é uma 1-forma. Assim por exemplo as [[função de estado|funções de estado]] da termodinâmica, o lagrangiano da [[mecânica lagrangiana]] ou o hamiltoniano da [[mecânica hamiltoniana]] são de fato 0-formas definidas sobre os respectivos [[espaço de configuração|espaços de configuração]] ou [[espaço fásico|espaços de fases]] do sistema físico.
Finalmente e usando o maior nivel de generalidade se definem as ''k''-formas. Uma forma de grau ''k'' ou ''k''-forma é uma seção diferenciável da ''k''-ésima [[produto exterior|potencia exterior]] do [[fibrado cotangente]] da [[Variedade (matemática)|variedade]]. Em qualquer ponto ''P'' em uma variedade, uma ''k''-forma resulta uma [[função multilinear]] desde a potência cartesiana ''k''-ésima do [[espaço tangente]] em ''P'' a ℝ.
== Algumas definições formais ==
| |||