Diferenças entre edições de "Elemento inverso"

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'''Elemento inverso''', em [[matemática]], é aquele cuja utilização numa [[operação binária]] matemática bem definida ''resulta no [[elemento neutro]] específico dessa operação'' — por essa razão simples a justificar a sua inversibilidade operacional. Às vezes costuma ser chamado também de '''[[elemento oposto]]'''. Não é o mesmo que o '''[[elemento simétrico]]''', como é costume afirmar-se. Por exemplo, o elemento inverso de "a" é "1/a" enquanto que o elemento simétrico de "a" é "-a". Também pode ser chamado simplesmente — quando não houver possibilidade de confusão ou pelo uso estrito em domínio específico, inambíguo ou unívoco — de '''[[oposto]]'''.
 
Esta, contudo, é uma definição simples ou ingênua da idéiaideia de elemento inverso. A sua conceituação ou definição formal passará a ser apresentada logo a seguir.
 
De modo semelhante ao conceito de [[elemento neutro]] — com o qual guarda íntima conexão lógica matemática — trata-se de conceito universal, cuja [[Generalização|generalização lógica]] integra o conjunto de idéiasideias que conduzem ao alcance — ou melhor, ''projetam o alcance'' — da extraordinária estrutura de unidade da [[Matemática]]. {{careceCarece de fontes|data=maio de 2014}}
 
== Nomenclatura ==
"'''Elemento inverso'''" é a expressão preferível para a significação em causa ''quando não se faz alusão a uma operação binária específica'' — ou mesmo que se o faça — quando se deseja exprimir a idéiaideia por generalidade.
 
No trato com leis de composição a envolverem conjuntos numéricos, ao se considerarem operações binárias como [[adição]] e [[multiplicação]], ''o conceito de elemento inverso guarda precisamente a significação genérica já apresentada''. Contudo, algumas vezes, costumam-se empregar terminologias diferenciadas, ''como se proprietárias fossem'', vinculadas a uma e a outra lei de composição. Assim é que:
* No domínio da [[multiplicação]], ''elemento inverso'' costuma ser utilizado ''como se significasse elemento inverso multiplicativo''.
 
Essa atribuição de terminologia diferenciada — notadamente a dizer respeito ''ao par de leis de composição [[adição]] e [[multiplicação]]'', também atinge outros conjuntos e domínios. Assim é que, por exemplo: fala-se em "[[Matriz (matemática)|matriz simétrica]]", para se referir à matriz inversa aditiva; diz-se "transformação simétrica" (ou simplesmente ''simetria'', quando tal uso for inambíguo, unívoco), para se referir às transformações geométricas que guardem certas propriedades, ditas simetria geométrica, segundo definição precisa. Fala-se em simetria espacial, sistêmica etc..
 
Deve-se ter em conta, todavia, que tais usos diferenciados — ''embora sinônimos específicos legítimos'' — não ferem a unificação conceitual.
 
== Definições formais ==
=== Em um grupoide com unidade ===
Seja <math>S</math> um conjunto munido de uma operação binária <math>*</math>, isto é, um [[Grupoide (estrutura algébrica)|grupoide]] ou [[sistema matemático]]{{careceCarece de fontes|data=maio de 2014}}. Se <math>e</math> é um elemento neutro de <math>(S, *)</math>, ou seja, <math>S</math> é um grupoide com unidade, e <math>a</math> é um elemento qualquer pertencente a <math>S</math>, chama-se de '''elemento inverso'' do elemento <math>a</math> a qualquer elemento <math>b</math> tal que:
* <math>a^{-1} * a = e</math> e <math>a * a^{-1} = e</math>, irrestritamente: o elemento é dito "[[elemento inverso bilateral]]", "[[elemento inverso irrestrito]]" ou "[[Elemento Oposto|elemento inverso]]" simplesmente, pois ''aplicado à esquerda'' ou ''aplicado à direita'' do outro operando, ''resulta, pois, sempre o [[elemento neutro]] <math>e</math>'';
* <math>a^{-1} * a = e</math> mas <math>a * a^{-1} \not= e</math>, restritamente: o elemento é dito "[[elemento inverso à esquerda]] apenas", pois só operado à esquerda resulta a neutralização;
* <math>a * a^{-1} = e</math> mas <math>a^{-1} * a \not= e</math>, restritamente: o elemento é dito "[[elemento inverso à direita]] apenas", pois só operado à direita resulta a neutralização.
 
É importante observar aqui que o símbolo <math>a^{-1}</math> ''não significa, como pode sugerir uma apreciação ligeira, elevar o elemento <math>a</math> ao expoente um negativo (–1)''. Trata-se, tão-somente, de recurso de generalidade simbólica, que faz apelo à idéiaideia da inversão multiplicativa — apenas à idéiaideia — convertendo-a em representação genérica para qualquer e toda inversão, segundo o conceito de elemento inverso.
 
Os conceitos de "esquerda" e de "direita, aqui, ''não tem significação proprietária de posição espacial, pelo menos não necessariamente''. "Esquerda" e "direita" como aqui empregados, referem-se a domínios de ordem matemática: podem significar respectivamente "antes" e "depois", (ou o contrário, se definido), bem como também as idéiasideias ordinárias de ''esquerda'' e de ''direita'', respectivamente.
 
Relativamente a uma dada [[operação binária]] num dado [[Sistema (matemática)|sistema matemático]]<ref>[[Sistema]], ''lato sensu'', em significação plena, conforme o melhor entendimento.</ref>, cuja [[estrutura algébrica]] ''seja conforme'', ao ser [[operação|operado]] com outro qualquer elemento do mesmo sistema, ''não lhe causa alteração na identidade (natureza ou valor)''. A conformidade expressa na definição implica ser o sistema matemático em causa dotado de estrutura algébrica de [[monóide]] ou superior ([[grupo]], [[corpo]] etc.).
 
== Exemplos ==
Para fixação imediata e simples de idéiasideias, ao se tratar de ''conjuntos numéricos unidimensionais'' (aqueles definidos sobre um [[espaço vetorial]] R<sup>n</sup> = R<sup>1</sup> = R, em que "R" figura como o [[Números reais|conjunto dos números reais]] e "n" = 1 figura como a dimensão linear do espaço vetorial em exame), por exemplo, qualquer dos conjuntos numéricos que são subconjuntos amplos de R, fala-se mais comumente em:
# [[Inverso aditivo]]: o elemento (procurado) que somado com um elemento (dado) resulta o [[elemento neutro aditivo]], nestes casos, precisamente o [[Zero|número zero]]. Assim, -3 é o inverso aditivo de +3, pois (-3) + (+3) = 0. Conversamente, +3 é o inverso aditivo de -3. Fala-se, então, em pares conjugados de inversos aditivos. Também: (+½ e -½), (+π e -π) etc... são outros pares conjugados de inversos aditivos. Costuma-se chamar ao [[inverso aditivo]] também [[elemento oposto aditivo]] (ou, simplesmente, [[oposto]], quando não houver possibilidade de confusão, ou pelo uso do termo em domínio específico, inambíguo, unívoco). Ainda se usam os termos [[elemento simétrico aditivo]] ou, simplesmente — ressalva feita — [[simétrico]].
# [[Inverso multiplicativo]]: o elemento (procurado) que multiplicado por um elemento (dado) resulta o [[elemento neutro multiplicativo]], nestes casos, precisamente o [[Um|número um]]. Assim, 1/3 é o inverso aditivo de 3, pois (1/3) . (3) = 1. Conversamente, 3 é o inverso multiplicativo de (1/3). Fala-se, também, em pares conjugados de inversos multiplicativos. Também: (2 e 1/2), (π e 1/π) etc... são outros pares conjugados de inversos multiplicativos. Costuma-se chamar ao [[inverso multiplicativo]] também [[elemento oposto multiplicativo]] (ou, simplesmente, [[oposto]], quando não houver possibilidade de confusão, ou pelo uso do termo em domínio específico, inambíguo, unívoco). Também se usam os termos [[elemento simétrico multiplicativo]] ou, simplesmente — ressalva feita — [[simétrico]].
 
Contudo, é preciso ter em mente que os exemplos relacionados às leis de composição "adição" e "multiplicação", conforme definidas sobre conjuntos numéricos sobre "R<sup>n</sup>", ''não são os únicos'', tampouco necessariamente os mais importantes irrestritamente — embora seja certo reconhecer que são muito importantes na prática do dia-a-dia. Com efeito, não apenas o matemático abstrato (o cientista, o pesquisador, o profissional...) lida com muitíssimos outros exemplos de inversos e de neutros, ''mas, também, o cidadão comum, frequentemente sem o saber sequer''. Apenas para fixar idéiasideias nesse domínio, suponha-se o seguinte exemplo simples: (1) alguém dá um passo adiante; (2) a seguir, esse alguém dá um passo atrás, retornando à posição originária; (3) é certo, pois, conhecer o par ("passo adiante" e "passo atrás") como par conjugado de "inversos de passo" (vetores unidimensionais?...) e o resultado (retorno ao ponto de partida) como o "elemento neutro de passo". Este exemplo — extremamente simples — foi citado para salientar a absoluta generalidade da presença de tais estruturas na lida abstrata e também na prática do dia-a-dia. São as estruturas matemáticas, os [[Sistema matemático|sistemas matemáticos]], ''mais onipresentes que se imagina''.
 
{{referências}}
==Referências==
{{reflist}}
 
== Ver também ==
* [[Elemento neutro]]
* [[Neutro aditivo]]
* [[Monóide]]
* [[Semigrupo]]
* [[Semigrupo inverso]]
 
[[Categoria:Álgebra]]