Diferenças entre edições de "Elemento neutro"

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Em matemática, um '''elemento neutro''' (ou '''identidade'''), é qualquer elemento cuja utilização numa operação binária bem definida ''não causa alteração de identidade no outro elemento com o qual entra em operação'' — por essa razão simples a justificar a sua neutralidade operacional. Também pode ser chamado simplesmente — quando não houver possibilidade de confusão ou pelo uso estrito em domínio específico, inambíguo ou unívoco — de '''[[neutro]]''' ou ainda de '''[[identidade]]''' (mais infrequente).
 
Esta, contudo, é uma definição simples ou ingênua da idéiaideia de elemento neutro. A sua conceituação ou definição formal passará a ser apresentada logo a seguir.
 
Trata-se de conceito universal, cuja [[Generalização|generalização lógica]] integra o conjunto de idéiasideias que conduzem ao alcance — ou melhor, ''projetam o alcance'' — da extraordinária estrutura de unidade da [[Matemática]].
 
== Nomenclatura ==
'''Elemento neutro''' também costuma ser chamado de '''elemento identidade''', embora a primeira forma seja quase unânime entre as culturas. Com efeito, como ''um elemento com tal propriedade'' não causa alteração na identidade (natureza ou valor) do elemento com o qual é operado binariamente, é compreensível chamá-lo também "elemento identidade", no sentido de "elemento [que, doutro envolvido operando, preserva a] identidade". Essa nomenclatura, porém, é minoritariamente utilizada. Basta observar que a quase totalidade das culturas prefere o equivalente vernáculo de "elemento neutro".
 
== Definição formal ==
Dado um [[Grupóide (estrutura algébrica)|grupóide]] S, ou seja, um conjunto C munido de uma [[operação binária]] * (representa-se por S = (C, *)), dado um elemento <math>e \in C\,</math> tem-se que, se para todo ''a'':
* ''e * a = a e a * e = a'', então o elemento ''e'' é dito "[[elemento neutro bilateral]]", "[[elemento neutro irrestrito]]" ou "[[Elemento identidade|elemento neutro]]" simplesmente, pois aplicado à esquerda ou aplicado à direita do outro operando, não altera o valor de ''a'';
* O elemento neutro, se existe, é único. Se existem dois elementos neutros ''e'' e ''d'', então pela propriedade acima eles são iguais.
 
== [[Elemento identidade|Neutro]] e [[Elemento inverso|Inverso]] ==
A idéiaideia de elemento neutro, em [[Matemática]] — ''lato sensu'', para incluir as [[Lógica]]s, as [[Lógica matemática|Lógicas matemáticas]], a [[Semiologia]] etc. — coneta-se ''logicamente'' com a idéiaideia de [[elemento inverso]], nos seguintes termos:
* Dado um conjunto <math>C</math> e um elemento <math>a</math> a ele pertecente, chama-se [[elemento inverso]] composicional, relativamente a uma dada [[Operação binária|lei de composição]] definida por <math>*</math> que tenha <math>e</math> como elemento neutro, a qualquer elemento <math>b</math> tal que:
:<math>a * b = b * a = e</math>
 
Para fixação imediata e simples de idéiasideias, ao se tratar de ''conjuntos numéricos unidimensionais'' (aqueles definidos sobre um [[espaço vetorial]] R<sup>n</sup> = R<sup>1</sup> = R, em que "R" figura como o [[Números reais|conjunto dos números reais]] e "n" = 1 figura como a dimensão linear do espaço vetorial em exame), por exemplo, qualquer dos conjuntos numéricos que são subconjuntos amplos de R, fala-se mais comumente em:
# [[Neutro aditivo]]: o elemento resultante ao se somar com um elemento (dado) o seu conjugado [[elemento inverso aditivo]]. Ele é, nestes casos, precisamente o [[Zero|número zero]]. Assim, -3 é o inverso aditivo de +3, pois (-3) + (+3) = 0. Conversamente, +3 é o inverso aditivo de -3. Fala-se, então, em pares conjugados de inversos aditivos. Também: (+½ e -½), (+π e -π) etc... são outros pares conjugados de inversos aditivos. Costuma-se chamar ao [[inverso aditivo]] também [[elemento oposto aditivo]] (ou, simplesmente, [[oposto]], quando não houver possibilidade de confusão, ou pelo uso do termo em domínio específico, inambíguo, unívoco). Ainda se usam os termos [[elemento simétrico aditivo]] ou, simplesmente — ressalva feita — [[simétrico]].
# [[Neutro multiplicativo]]: o elemento resultante ao se multiplicar por um elemento (dado) o seu conjugado [[elemento inverso multiplicativo]]. Ele é, nestes casos, precisamente o [[Um|número um]]. Assim, 1/3 é o inverso aditivo de 3, pois (1/3) . (3) = 1. Conversamente, 3 é o inverso multiplicativo de (1/3). Fala-se, também, em pares conjugados de inversos multiplicativos. Também: (2 e 1/2), (π e 1/π) etc... são outros pares conjugados de inversos multiplicativos. Costuma-se chamar ao [[inverso multiplicativo]] também [[elemento oposto multiplicativo]] (ou, simplesmente, [[oposto]], quando não houver possibilidade de confusão, ou pelo uso do termo em domínio específico, inambíguo, unívoco). Também se usam os termos [[elemento simétrico multiplicativo]] ou, simplesmente — ressalva feita — [[simétrico]].
 
Contudo, é preciso ter em mente que os exemplos relacionados às leis de composição "adição" e "multiplicação", conforme definidas sobre conjuntos numéricos sobre "R<sup>n</sup>", ''não são os únicos'', tampouco necessariamente os mais importantes irrestritamente — embora seja certo reconhecer que são muito importantes na prática do dia-a-dia. Com efeito, não apenas o matemático abstrato (o cientista, o pesquisador, o profissional...) lida com muitíssimos outros exemplos de inversos e de neutros, ''mas, também, o cidadão comum, frequentemente sem o saber sequer''. Apenas para fixar idéiasideias nesse domínio, suponha-se o seguinte exemplo simples: (1) alguém dá um passo adiante; (2) a seguir, esse alguém dá um passo atrás, retornando à posição originária; (3) é certo, pois, conhecer o par ("passo adiante" e "passo atrás") como par conjugado de "inversos de passo" (vetores unidimensionais?...) e o resultado (retorno ao ponto de partida) como o "elemento neutro de passo". Este exemplo — extremamente simples — foi citado para salientar a absoluta generalidade da presença de tais estruturas na lida abstrata e também na prática do dia-a-dia.
 
== Alguns exemplos ==
{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
![[Conjunto]]!![[Operação]]!![[Elemento identidade|Elemento neutro]]
|-
|[[Números reais]]||<center>+ ([[adição]])</center>||<center>[[Zero|0]] ([[Zero|número zero]])</center>
|-
|[[Números reais]]||<center>• ([[multiplicação]])</center>||<center>[[Um|1]] ([[Um|número um]])</center>
|-
|[[Números reais]]||<center>''a<sup>b</sup>'' ([[exponenciação]])</center>||<center>[[Um|1]] ([[neutro à direita]] apenas)</center>
|[[Cadeia de caracteres]], ''listas''|| <center>[[Concatenação]]</center> || <center>[[Cadeia de caracteres|Cadeia ''vazia'']], ''lista vazia''</center>
|-
|[[Números reais|Números reais estendidos]] || <center>[[Infinitésimo|Mínimo]]/[[Infinitésimo|Ínfimo]]</center> ||<center><big>+∞</big></center>
|-
|[[Números reais|Números reais estendidos]] || <center>[[Supremo|Máximo]]/[[Supremo]]</center> || <center><big>−∞</big></center>
|-
|[[Subconjunto]]s de um [[conjunto]] ''M'' || <center>∩ ([[Interseção]])<center> ||<center> ''M''</center>
|[[Topologia (matemática)|Superfícies fechadas]] || <center># ([[Topologia (matemática)|Soma conetada]])</center> || <center>S²</center>
|-
|Apenas dois elementos {''e'', ''f''}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||[[Operação]] * definida por<br /> (1) ''e''&nbsp;*&nbsp;''e''&nbsp;= ''f''&nbsp;*&nbsp;''e''&nbsp;=&nbsp;''e''&nbsp;&nbsp; e<br /> (2) ''f''&nbsp;*&nbsp;''f''&nbsp;= ''e''&nbsp;*&nbsp;''f''&nbsp;=&nbsp;''f''||''e'' e ''f'' são ambos ''[[Neutro à esquerda|neutros à esquerda]]'',<br /> porém não existem ''[[Neutro à direita|neutros à direita]]''<br /> ou tampouco ''[[Neutro bilateral]]''
|}
 
Sob o aspecto amplo matemático, ''todo-inclusivo e todo-exclusivo'', são certamente possíveis álgebras que não tenham elemento neutro (ou, se se preferir, que tenham nenhum elemento neutro). Podem-se citar como exemplos triviais as operações binárias vetoriais [[produto escalar]] e [[produto vetorial]], construídas sobre espaços vetoriais R<sup>n</sup> (R = [[Números reais|conjunto dos números reais]] e n ([[número natural]]) ≥ 1). No primeiro caso (o do produto escalar), a inexistência do elemento neutro deve-se ao fato de que, se os dois operandos são grandezas vetoriais, o seu resultado-produto, todavia, é uma quantidade escalar (um [[número real]], ''lato sensu''). Já no segundo caso, a inexistência do elemento neutro deve-se ao fato de que a [[direção]] de qualquer produto vetorial não-nulo ''é sempre [[ortogonal]] aos operandos, de modo que não é possível, por definição, obter um vetor-resultado com a mesma direção que a de qualquer dos operandos.
 
== Ver também ==
* [[Elemento inverso]]
* [[Inverso aditivo]]
* [[Monóide]]
* [[Semigrupo]]
* [[Unital]]
 
[[Categoria:Álgebra]]