Método das diferenças finitas: diferenças entre revisões
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Acrescentei duas fórmulas de diferença quociente para derivada primeira e uma para derivada segunda. Em breve acrescentarei modelos de solução para problemas lineares e não-lineares. |
Adicionei o tópico sobre resolução de problemas lineares a partir do método das diferenças finitas(incompleto). Etiquetas: Editor Visual Sequência sem espaços |
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Linha 23:
</math>
== Método das diferenças finitas para problemas lineares ==
A partir
</math> um número muito pequeno, mas grande o suficiente para que não cause instabilidades nas aproximações das derivadas.
=== Resolução de problemas de contorno ===
Para uma equação diferencial do tipo <math>y''(x)=f(x)y'(x)+g(x)y(x)+z(x)
</math>, onde <math>x
</math> varia de <math>a
</math> até <math>b
</math>, <math>y(a)=A
</math> e <math>y(b)=B
</math>.
A equação é aproximada pelo método das diferenças finitas, com um erro de truncamento igual a <math>o(h^2)
</math>, substituindo-se as derivadas pelas suas representações numéricas, que são dadas por:
<math>y'(x)=\frac{y(x+h)-y(x-h)}{2h}
</math>
<math>y''(x)=\frac{y(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}
</math>
Como é possível perceber, necessita-se definir um valor para <math>h
</math>. Este valor pode ser definido pela divisão do intervalo em que se está interessado para a resolução do problema em <math>N
</math> intervalos menores. Assim, o valor de <math>h
</math> é dado por: <math>h=\frac{b-a}{N}</math>.
As extremidades destes subintervalos são dadas por <math>x(i) = a + (i-1)h
</math>, para <math>i=1,2,...,N
</math>.
Para a resolução do problema, o mesmo é escrito na forma <math>y''(x)-f(x)y'(x)-g(x)y(x)=z(x)
</math>, que após a substituição das derivadas, torna-se:
<math>\frac{y(x(i)+h)-2y(x(i))+y(x(i)-h)}{h^2}-f(x(i))[\frac{y(x(i)+h)-y(x(i)-h)}{2h}]-g(x(i))y(x(i))=z(x(i))
</math> , para <math>i=1,2,...,N
</math>.
Como <math>x(i+1)=x(i)+h
</math> e <math>x(i-1)=x(i)-h</math>, aquela equação pode ser reescrita como
<math>\frac{y(x(i+1))-2y(x(i))+y(x(i-1))}{h^2}-f(x(i))[\frac{y(x(i+1))-y(x(i-1))}{2h}]-g(x(i))y(x(i))=z(x(i))
</math>.
Isolando os termos <math>y(x(i+1))
</math>, <math>y(x(i))
</math> e <math>y(x(-1))</math> na fórmula acima, obtêm-se
<math>y(x(i-1))[\frac{1}{h^2}+\frac{f(x(i))}{2h}]+y(x(i))[\frac{-2}{h^2}-g(x(i))]+y(x(i+1))[\frac{1}{h^2}-\frac{f(x(i))}{2h}]=z(x(i))</math>
A partir desta equação é possível resolver o sistema linear a partir de uma matriz de coeficientes que multiplica os valores de <math>y
</math>, sendo que a solução deste sistema é dada por <math>z
</math>.
== Referências ==
Análise Numérica; Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas; 2008.
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