Método das diferenças finitas: diferenças entre revisões
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Como <math>x(i+1)=x(i)+h
</math> e <math>x(i-1)=x(i)-h</math>, aquela equação pode ser reescrita como
<math>\frac{y(x(i+1))-2y(x(i))+y(x(i-1))}{h^2}-f(x(i))[\frac{y(x(i+1))-y(x(i-1))}{2h}]-g(x(i))y(x(i))=z(x(i))
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</math>.
=== Resolução de problemas de valor inicial e o método de Euler ===
A partir do método das diferenças finitas também é possível obter o [[método de Euler]], que é usado para obter soluções de problemas de valor inicial bem-posto. [[Leonhard Euler (1707 - 1783)]] foi o primeiro matemático de sua época a apresentar o uso do método de diferenças finitas para encontrar aproximações de soluções de equações diferenciais. Entretanto, o método de Euler não é usado na prática, pois possui pouca precisão. Alternativamente a este, são utilizados com maior frequência o método de Euler modificado ou o [[método de Runge-Kutta]] para solução de problemas de valor inicial.
Para um dado problema de valor inicial bem posto
<math>y'(t)=f(t,y)</math>, <math>a
</math> ≤ <math>t</math> ≤ <math>b</math> , <math>y(a)=\alpha</math> .
Divide-se o intervalo <math>[a,b]</math> em <math>N</math> subintervalos e define-se que <math>t(i)=a+(i-1)h</math>, para <math>i=1,2,...,N</math>. Onde <math>h</math> é o espaçamento da malha.
A partir disto, temos que <math>h=\frac{(b-a)}{N}=t(i+1)-t(i)</math>, para <math>i=1,2,...,N</math>.
Aproximando a equação diferencial pelo método das diferenças finitas, desprezando-se o termo de erro, temos
<math>\frac{y(t(i+1))-y(t(i))}{h}=f(t(i),y(i))</math>
<math>y(t(i+1))=y(t(i))+hf(t(i),y(i))</math>, que é usada para <math>i=1,2,3,...,N.</math>
A equação acima é conhecida como equação de diferença associada ao método de Euler.
O sistema linear é inicializado com <math>y(1)=\alpha</math> e é de fácil solução.
== Método das diferenças finitas para problemas não lineares ==
O método das diferenças finitas é análogo ao utilizado para problemas lineares. Entretanto, é utilizado um processo iterativo para a obtenção da solução do problema, que não é linear.
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As condições de contorno são <math>y(1)=\alpha</math> e <math>y(N+1)=\beta</math>.
A partir da equação <math>-\frac{y(x(i+1))-2y(x(i))+y(x(i-1))}{h^2}+f(x(i),y(i),\frac{y(x(i+1))-y(x(i-1))}{2h})=0
</math>, para <math>i=2,3,...,N</math> e das condições de contorno, obtemos um sistema não linear que pode ser resolvido via [[Método de Newton]] para sistemas não-lineares. Sendo que o sistema terá solução única se <math>h</math> < <math>2/Q</math>. Se a aproximação inicial utilizada no método de Newton for suficientemente próxima da solução e se a [[Matriz jacobiana|matriz Jacobiana]] do sistema for não-singular, o sistema converge para a solução exata.
== Referências ==
Análise Numérica; Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas; 2008.
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