Limite de uma sequência: diferenças entre revisões
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== Definição formal ==
* Para uma sequência de pontos <math>\{x_n|n\in \mathbb{N}\}\;</math> em um [[espaço métrico]]
:(como por exemplo, uma sequência de [[Número racional|números racionais]], [[Número real|números reais]], [[Número complexo|números complexos]], pontos em um [[espaço normado]], etc.):
: se, e somente se:
:
: i.e.: se, e somente se, para todo
* Uma generalização desta relação, para uma sequência de pontos <math>\{x_n|n\in \mathbb{N}\}\;</math> em um [[espaço topológico]]
▲:Se <math>L \in M\;</math> diz-se que ''L'' é '''o limite''' da sequência e escreve-se
:
▲::<math> L = \lim_{n \to \infty} x_n </math>
: se, e somente se, para toda a [[vizinhança]]
▲::<math>\Longleftrightarrow \forall \epsilon>0\; \exist n_0 \in \mathbb{N}: n>n_0 \Rightarrow d(x_n,L)<\epsilon.\; </math>
▲:i.e.:se e somente se para todo (hodap) número real <math>\epsilon>0\;</math>, existe um [[número natural]] ''N'' tal que para cada <math>n>N\;</math>, satisfaz-se que <math>d(x_n,L)<\epsilon.\;</math>
▲* Uma generalização desta relação, para uma sequência de pontos <math>\{x_n|n\in \mathbb{N}\}\;</math> em um [[espaço topológico]] ''T'':
▲:Se <math>L\in T\;</math> diz-se que ''L'' é '''um limite''' desta sequência e escreve-se
▲::<math> L = \lim_{n \to \infty} x_n </math>
▲:se e somente se para toda a [[vizinhança]] ''S'' de ''L'' existe um número natural ''N'' tal que <math>x_n\in S\;</math> para todo <math>n>N.\;</math>
Se uma sequência tem limite, diz-se que a sequência é '''convergente''', e que a sequência '''converge''' ao limite. Caso contrário, a sequência é '''divergente'''.
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