Teoria quântica de campos: diferenças entre revisões
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Adição de uma nova seção com os fundamentos matemáticos. Foi adicionado os fundamentos matemáticos da mecânica clássica, próximos passos 1) Quantizaçao; 2) Campos Clássicos 3) Quantização de campos |
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conhecida como '''equação de Schrödinger''' "independente do tempo". Esta é uma [[equação de autovalores]], ou seja, através dela se obtem simultaneamente '''''autofunções''''' (no caso as '''funções de onda <math>\psi</math>''') e [[autovalor]]es (no caso, o conjunto das '''energias estacionárias <math>E</math>''').
== Formulação Matemática ==
=== Mecânica clássica ===
A dinâmica de uma partícula pontual de massa <math>m</math> em um regime não-relativístico, ou seja, em velocidades muito menores que a velocidade da luz, pode ser determinada através da função lagrangiana
<center>
<math>L= \frac{1}{2}m(\dot{q}^i)^2-V(q)</math>,
</center>
em que <math>(q^i, \dot{q}^i)</math> que são respectivamente, coordenadas generalizadas posição e a velocidade da partícula, determinam o espaço de fase do sistema e <math>V(q)</math> é o potencial em que a partícula se move. Minimizando o funcional ação
<center>
<math>S=\int dt L(q^i, \dot{q}^i)</math>
</center>
encontra-se a equação de movimento para esse sistema,
<center>
<math>m\frac{d^2q^i}{dt^2}=-\frac{\partial V(q)}{\partial q^i}</math>,
</center>
que é a equação de Newton, desde que <math>\mathbf{F}=-\nabla V(q)</math>.
Existe outra formulação equivalente da mecânica clássica, conhecida como formulação hamiltoniana e que pode ser diretamente relacionada a formulação lagrangiana acima. Para se fazer contato entre as duas formulações, define-se o momento
<center>
<math>p^i=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i}</math>,
</center>
de maneira que a função hamiltoniana é dada por
<center>
<math>H(q^i,p^i)=p^i\dot{q}^i-L(q^i,\dot{q}^i)</math>,
</center>
que para a escolha da lagrangiana acima, tem-se
<center>
<math>H(q^i,p^i)=\frac{(p^i)^2}{2m}+V(q)</math>.
</center>
Assim como no caso da função lagrangiana, a hamiltoniana descreve toda a dinâmica de um sistema clássico, portanto, considerando uma variação de <math>H(q^i,p^i)</math> tem-se um par de equações diferenciais de primeira ordem,
<center>
<math>\dot{q}^i=\frac{\partial H}{\partial p^i}, \quad \dot{p}^i=-\frac{\partial H}{\partial q^i}</math>,
</center>
que equivale a equação de Newton, que é de segunda ordem.
==Primeiras unificações. Equações relativísticas==
===Equação de Klein-Gordon===
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