Equação linear: diferenças entre revisões
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Diz-se em [[matemática]] que uma [[equação polinomial]] a <math>n</math> [[indeterminada]]s da forma
: <math>a_nX_n + a_{n-1}X_{n-1} + \cdots + a_1X_1 + a_0 = 0_A,</math>
em que os [[coeficiente]]s <math>a_0, a_1, \ldots, a_n</math> pertencem a um [[anel comutativo]] <math>A</math> e <math>0_A \in A</math> é o nulo<ref>ou [[neutro aditivo]]</ref> do [[Anel (matemática)|anel]], é uma '''equação linear''' sobre <math>A</math>. De outro modo, fixado um [[polinômio]] <math>p \in A[X_1, \ldots, X_n]</math> de
Uma equação linear pode não vir expressa na forma mais simples acima, muito embora seja sempre possível exprimi-la assim. Por exemplo, expressões da forma <math>p = a</math> e <math>p = q</math>, em que <math>
</math>, <math> </math> e <math>a \in A</math>, são igualmente equações lineares; a primeira uma forma particular da segunda (tome para <math>q</math> o polinômio de grau 0 constante igual a <math>a</math>). Como <math>p-a</math> e <math>p-q</math> são polinômios, <math>p - a = 0_A</math> e <math>p - q = 0_A</math> são equações lineares reduzidas a forma mais simples. Nem sempre uma equação linear sobre <math>A</math> possuirá solução sobre <math>A</math>, mas sempre possuirá solução em alguma extensão de <math>A</math>. Por exemplo, se <math>A</math> é um subanel de <math>\mathbb{R}</math>, toda equação linear sobre <math>A</math> possuirá solução em <math>\mathbb{R}</math>. Na verdade, para ser mais preciso, se <math>A</math> é um subanel de um subcorpo <math>\mathbb{K}</math> de <math>\mathbb{R}</math>, então toda equação linear sobre <math>A</math> possui solução em <math>\mathbb{K}</math>.
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