Wavelet: diferenças entre revisões
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Linha 144:
<math>f(t) \cong f[k] \;=\; \sum_{k=1}^m \sum_{j=1}^n W[j,k] \cdot h[j,k] \;=\; \langle W,h^* \rangle \qquad (4d)</math>
sem verificar se os coeficientes ''W'' foram calculados adequadamente. Por esse motivo, existe outra técnica para a inversão, baseada na [[Análise multi-resolução|análise do sinal em múltiplos níveis de resolução]]
Em aplicações práticas, como é muito difícil obter uma expressão analítica para a transformada contínua, é a versão discreta, calculada por computador, que é empregada. Um dos motivos da popularidade da transformada de wavelet discreta é a existência de um algoritmo que permite calcular os coeficientes com esforço de ordem O(L), onde ''L'' é o tamanho dos dados origiais (ou seja, das amostras de ''f(t)'' e de ''ψ(t)''). Esse algoritmo é chamado de '''transformada rápida de wavelet''' (FWT, do inglês ''Fast Wavelet Transform''). Deve-se salientar que ele é ainda mais eficiente do que o muito conhecido algoritmo da [[transformada rápida de Fourier]] (FFT).
Linha 156:
<math>g_{j,k}(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cdot \phi_{j,k}^*(t) \; dt \qquad (3f)</math>
o que corresponde a uma filtragem [[Filtro passa-baixa|passa-baixa]] que "alisa" o sinal, resultando numa aproximação ''g<sub>j,k</sub>(t)'' para aquela escala definida pelos parâmetros ''j'' e ''k''.
<math>d_{j,k}(t) = g_{j,k}^*(t) \;-\; g_{j,k-1}^*(t) \qquad (3g)</math>
O sinal original pode ser perfeitamente reconstruído a partir da soma das funções ''d<sub>j,k</sub>(t)''. Mas essas funções podem ser computadas de outra forma: por meio de uma filtragem obtida pela correlação do sinal filtrado com uma wavelet mãe adequada
<math>d_{j,k}(t) = \int_{-\infty}^{\infty} g_{j,k-1}^*(t) \cdot \psi_{j,k}^*(t) \; dt \qquad (3h)</math>
''ψ<sub>j,k</sub>'' deve corresponder à resposta de um [[filtro passa-alta]]. A relação entre duas funções ''ψ'' sucessivas é a mesma dada por (3f).
Assim, a representação por meio das funções ''d<sub>j,k</sub>(t)'' não leva a perda de informação e ainda constitui uma representação mais compacta de ''f(t)''. Matematicamente, o que ocorre é que a autocorrelação do sinal, que é dada exatamente pelo conjunto das funções ''g<sub>j,k</sub>(t)'', constitui uma redundância, que foi eliminada no processo.
O cálculo das funções ''g'' e ''d'' discretas comporta algumas sutilezas adicionais em relação às versões contínuas representadas nas fórmulas acima. Mais importante, as wavelets pai e mãe precisam atender à chamada '''[[Reconstrução perfeita|condição de reconstrução perfeita]]'''.
== Propriedades ==
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