Empuxo: diferenças entre revisões
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Linha 39:
<math>\overrightarrow E = \int \!\!\!\int_S -p(x,y,f(x,y)).\left [{\left (1,0,\frac{\partial f}{\partial x} \right) \times \left (0,1,\frac{\partial f}{\partial y} \right)} \right]\,dx\,dy</math>
<math>\overrightarrow E = \int_{x_a}^{x_b} \!\!\!\int_{y_a}^{y_b} p(x,y,f(x,y)). \left (\frac {\partial f}{\partial x},\frac {\partial f}{\partial y}, -1 \right) \,dx\,dy</math>
Lembrando que <math>x_a,x_b,y_a,y_b </math> não necessariamente são constantes, pois vão delimitar a região de integração em questão, seja ela um retângulo (no caso em que seriam constantes) ou qualquer outra figura (no caso em que seriam variáveis).
Linha 58:
<math>|\overrightarrow E. \hat k|= \rho gV_{desl.} </math>
Desta forma o peso aparente do corpo será:
<math>P_{apar.}=F_{peso}-\rho g V_{desl.}</math>
Como o empuxo é, em última análise uma força de reação ao peso do corpo, enquanto o mesmo estiver em equilíbrio estático, o peso aparente nunca será menor que zero.
A única situação onde isto acontece é quando afundamos um corpo cuja tendência natural é a de boiar em determinado líquido e então o peso aparente é negativo, pois a força advinda do empuxo será maior que o peso e então o corpo vai "subir" até que as duas forças se igualem.
=== Em superfícies definidas por equações paramétricas: ===
Podemos realizar este mesmo tratamento matemático em superfícies que estão definidas através de equações paramétricas:
Seja a superfície em questão definida pela equação vetorial <math>\overrightarrow S(t,u)=(x(t,u),y(t,u),z(t,u))</math>
* <math>\overrightarrow {dE}=-\hat n. \rho gh .d \sigma</math>;
* <math>\hat n=\frac {\frac {\overrightarrow {\partial S}}{\partial t} \times \frac { \overrightarrow {\partial S}}{\partial u}}{\left | \frac { \overrightarrow {\partial S}}{\partial t} \times {\frac {\overrightarrow {\partial S}}{\partial u}} \right |}</math>;
* <math>d\sigma=\left | \frac { \overrightarrow {\partial S}}{\partial t} \times {\frac {\overrightarrow {\partial S}}{\partial u}} \right |</math>;
* <math>h=H-z(t,u)</math>
Através da integral de superfície temos:
<math>\overrightarrow E=\int_{t_a}^{t_b}\!\!\!\int_{u_a}^{u_b} \rho g (H-z(t,u)). \left (\frac {\overrightarrow {\partial S}}{\partial t} \times \frac { \overrightarrow {\partial S}}{\partial u} \right) \,dt\,du</math>
Considerando a projeção do empuxo sobre a direção da força peso:
<math>\overrightarrow E.\hat k = \int_{t_a}^{t_b}\!\!\!\int_{u_a}^{u_b} \rho g (H-z(t,u)). \left (\frac { {\partial x}}{\partial t}. \frac {\partial y}{\partial u}- \frac { {\partial x}}{\partial u} . \frac {\partial y}{\partial t}\right) \,dt\,du</math>
<math>\overrightarrow E.\hat k \rho g= \int_{t_a}^{t_b}\!\!\!\int_{u_a}^{u_b} (H-z(t,u)). \left (\frac { {\partial x}}{\partial t}. \frac {\partial y}{\partial u}- \frac { {\partial x}}{\partial u} . \frac {\partial y}{\partial t}\right) \,dt\,du</math>
Para calcularmos o do sólido em questão, fazemos:
<math>dV=(H-z)dA</math>
Onde <math>dA</math> será dada pela área compreendida pelo paralelogramo que surge através da projeção dos vetores diretores do plano tangente (os vetores que usamos para calcular <math>d\sigma</math> , mas sem a componente "z") no ponto em questão.
<math>dA=\left |\left (\frac {\overrightarrow {\partial S}}{\partial t}.(\hat i + \hat j)\right) \times \left (\frac {\overrightarrow {\partial S}}{\partial u}.(\hat i + \hat j)\right ) \right | dtdu</math>
<math>dA=\left (\frac { {\partial x}}{\partial t}. \frac {\partial y}{\partial u}- \frac { {\partial x}}{\partial u} . \frac {\partial y}{\partial t}\right) dtdu</math>
<math>dV=(H-z(t,u)).\left (\frac { {\partial x}}{\partial t}. \frac {\partial y}{\partial u}- \frac { {\partial x}}{\partial u} . \frac {\partial y}{\partial t}\right) dtdu </math>
Logo:
<math>V_{desl.}=\int_{t_a}^{t_b}\!\!\!\int_{u_a}^{u_b} (H-z(t,u)). \left (\frac { {\partial x}}{\partial t}. \frac {\partial y}{\partial u}- \frac { {\partial x}}{\partial u} . \frac {\partial y}{\partial t}\right) \,dt\,du </math>
Assim chegamos no mesmo resultado.
==Ver também==
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