Corpo de frações: diferenças entre revisões
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Seja (A,+,*) um [[anel (álgebra)|anel]]. Sob que condições podemos construir uma [[extensão algébrica|extensão]] (B,+,*) que seja um [[corpo (matemática)|corpo]]? Se a resposta for afirmativa, B será chamado de o '''corpo de frações''' de A.
== Construção ==
Como (B,+,*) é um corpo, temos que a multiplicação é comutativa. Então, em (A,+,*), a multiplicação também deve ser comutativa.
Como B não pode ter divisores de zero, segue que A também não pode ter divisores de zero.
Para que A seja um subconjunto de B, deve ser possível representar cada elemento de A como uma divisão de elementos de A. Uma condição suficiente para isso é que a multiplicação em A tenha elemento neutro 1.
As três condições acima (anel comutativo, sem divisores de zero, e com elemento neutro multiplicativo) caracterizam um domínio de integridade.
Como os elementos de B tem a forma <math>\frac {a_1} {a_2}\,</math> para <math>a_1 \in A \land a_2 \in A \land a_2 \neq 0\,</math>, vamos iniciar a construção de B pelo conjunto de pares ordenados <math>A \times A^{\star} = A \times (A - \{ 0 \})\,</math>.
Define-se, em <math>A \times A^{\star}</math>:
:<math>(a, b) + (c, d) = (a \ d + b \ c, b \ d)</math>
:<math>(a, b) * (c, d) = (a \ c, b \ d)</math>
Essas operações estão bem definidas, porque A não tem divisores de zero, logo <math>b \ d \neq 0\,</math>
Lembrando que <math>\frac {a} {b} = \frac {c} {d} \iff a \ d = b \ c\,</math>, temos que considerar em <math>A \times A^{\star}</math> a relação <math>\sim\,</math> definida por <math>(a, b) \sim (c, d) \iff a \ d = b \ c\,</math>.
Prova-se que <math>\sim\,</math> é uma relação de equivalência em <math>A \times A^{\star}\,</math>. Além disso, é possível provar que as operações de soma e produto definidas em <math>A \times A^{\star}\,</math> estão bem definidas no conjunto quociente <math>\frac {A \times A^{\star}} {\sim}\,</math>.
A projeção <math>\pi: A \mapsto \frac {A \times A^{\star}} {\sim}\,</math> definida por <math>\pi(x) = [ (x, 1) ]\,</math> é um isomorfismo entre A e <math>\pi(A)\,</math>.
Finalmente, basta provar as propriedades de corpo para finalizar a construção.
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