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Pequena Biografia de Pitágoras
As ternas no período Babilônico
Ternas Pitagorias e Geometria Etiquetas: Provável parcialidade Editor Visual |
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[[Imagem:Pythagorean triple scatterplot.jpg|thumb|Representação dos ternos pitagóricos com ''c''<4500. A [[abcissa]] e [[ordenada]] correspondem ao números ''a'' e ''b'' e a [[distância]] à origem, o número ''c''.]]
Em [[matemática]], nomeadamente em [[teoria dos números]], um '''terno pitagórico''' (ou '''trio pitagórico''', ou ainda '''tripla pitagórica''') é formado por três [[números naturais]] ''a'', ''b'' e ''c'' tais que ''a''²+''b''²=''c''². O nome vem do [[teorema de Pitágoras]] que afirma que se as medidas dos lados de um [[triângulo rectângulo]] são números inteiros, então são um terno pitagórico. Se (''a'',''b'',''c'') é um terno pitagórico, então (''ka'',''kb'',''kc'') também é um terno pitagórico, para qualquer número natural ''k''. Um '''terno pitagórico primitivo''' é um terno pitagórico em que os três números são [[primos entre si]]. Os primeiros ternos pitagóricos primitivos são (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29)...
== Pitágoras ==
[[File:Pitágoras de Samos.jpg|thumb|Pitágoras de Samos
'''Nascimento''': 571 a.C., Samos, Grécia
'''Falecimento''': 495 a.C., Metaponto, Itália
'''Nacionalidade''': Grego
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Pitágoras, filosofo e matemático, nasceu em 572 a.C. em Samos, uma ilha grega no mar Egeu na costa da Asia Menor, na época pertencente `a Grécia, ele viajou pelo Egito e Babilônia, e segundo alguns historiadores, possivelmente foi até à Índia. Pitágoras mudou-se para Crotona, na atual Itália e ali fundou uma escola filosófica que muito se assemelhava a um culto religioso. A escola fundada por ele era secreta e ao mesmo tempo comunitária, onde conhecimento e propriedades eram comuns, possuía bases religiosas, matemáticas e filosóficas.
O filósofo e matemático Pitágoras, além de fundador e líder, era visto como profeta. A escola também praticava rituais de purificação através do estudo de Geometria, Aritmética, Música e Astronomia. Acreditavam na transmigração da alma de um corpo para o outro após a morte, portanto acreditavam na reencarnação e na imortalidade da alma.
== Fórmula de Euclides ==
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* exactamente um dos números ''a'' ou ''b'' é múltiplo de 4;
* exactamente um dos números ''a'', ''b'' ou ''c'' é múltiplo de 5.
== As ternas pitagóricas no período babilônico ==
''Um dos problemas babilônicos sobre raiz quadrada está ligado à relação entre o lado de um quadrado e sua diagonal. Essa relação é um caso especial do resultado conhecido como o teorema de Pitágoras: em qualquer triângulo retângulo, a soma das medidas dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa. O nome desse teorema é em homenagem ao filósofo e matemático grego do século VI a. C., é indiscutivelmente o teorema elementar mais importante em Matemática, uma vez que as suas consequências e generalizações têm ampla aplicação. No entanto, é um dos primeiros teoremas conhecidos das civilizações antigas; de fato, há evidências de que ele era conhecido pelo menos 1000 anos antes de Pitágoras. (Katz, 1998, p. 30)''
Katz sinaliza que há indícios da utilização de ternas pitagóricas em construções de templos megalíticos. ''Alguns estudiosos têm argumentado que as pedras dos templos na Inglaterra relacionadas com a astronomia e edificada no terceiro milênio a. C. foram construídas utilizando o conhecimento do teorema de Pitágoras e, em especial, ternas pitagóricas, ternas de inteiros (a, b, c) , tal que ''a''² + b² = c². No entanto, a evidência disso é bastante tênue. (Katz, 1998, p. 30)''
Além disso, conforme Katz há registros históricos comprobatórios em placas de argila do período de Hamurabi que comprovam o conhecimento, construção e utilização de ternas pitagóricas. Em especial, se tem a tabuleta Plimpton 322, que consta no acervo da Biblioteca de Livros Raros e Manuscritos da Universidade de Columbia, que foi estudada por Neugebauer e Sachs. O historiador Katz, em seu texto, reproduz em notação decimal o conteúdo dessa tabuleta e explica como o escriba babilônico conseguiu obter essas ternas pitagóricas.
== Obtenção de trios pitagóricos por fórmulas de álgebra geométrica ==
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=== Obtenção dos outros ternos pitagóricos ===
Para obtenção dos outros ternos, basta tomarmos cada um dos ternos Pitagóricos primitivos e multiplicar seus valores por 2,3,4,5,6....
=== Proposição 2.4. Existem infinitas ternas pitagóricas primitivas. ===
Demonstração: Dadas as ternas da forma (2m, m''²'' − 1, m''²'' + 1), ou seja, com n = 1. Se
usarmos m = 2k e k primo, temos que a = 2m = 4k só possui dois divisores primos, a
saber 2 e k. Porém b = m''²'' − 1 e c = m''²'' + 1 são ímpares, logo 2 não divide b e 2 não divide c, além disso k não divide b
e k não divide c. Portanto a, b, c s˜ao relativamente primos entre si. Como existem infinitos primos
k. Logo existem infinitas ternas pitagóricas primitivas da forma (2m, m''²'' − 1, m''²'' + 1).
== Ternas Pitagóricas e Geometria ==
Podemos observar que em um triângulo retângulo ABC, com lados medindo a, b e c, o sen α =a/c e cos α =b/c são números racionais.
=== Proposição 3.2. Seja α um ângulo trigonométrico. Então: ===
(i) α é um ângulo pitagórico se, e somente se, o seu complementar é ângulo pitagórico.
(ii) Se α é um ângulo pitagórico então kπ ± α também ´e ângulo pitagórico para todo k ∈ Z. Em particular o seu suplementar é um ângulo pitagórico.
== {{ver também}} ==
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