Em [[1965]], Sydler mostrou que o invariante de Dehn é, também, condição suficiente para dois poliedros serem congruentes por tesoura, ou seja, se dois poliedros tem o mesmo volume e o mesmo invariante de Dehn, então é possível decompor um deles e remontar o outro.<ref name="champanerkar" /><ref name="kreinovich" />
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== Abrangência ==
Uma extensão pode ser feita ser feita: quando se comparam poliedros de mesmo volume, cujas formulas de calculo de volume, possam ser deduzida de outras maneiras, como num exemplo onde se encontram formulas de volume por decomposição e recomposição [http://pt.wikipedia.org/wiki/Usu%C3%A1rio(a):Canisandfelis/Testes] .
== Relação com o sexto problema ==
Quando se comparam volumes de poliedros equivalestes, um cuja formula de calculo foi deduzida da geometria Euclidiana e o mesmo poliedro com formula de calculo deduzida da congruência por corte e remontagem, se observa que ao invés de revelarem relação de volume, originam volume nulo ou negativo. A [[experiência da dupla fenda|experiência da dupla fenda]], aplicada à matéria transforma o padrão de interferência em interferência total das ondas de matéria. A mecânica quântica é característica da intervenção de experimentador, para alterar os resultados. As faces de poliedros cortados são écrans, que anteriormente tiveram a intervenção experimental, as fendas são os espaços eletrônicos de [[Ernest Rutherford]] . O que [[Thomas Young]] constatou com a experiência da dupla fenda, foi que os elétrons escolhem por qual fenda irão passar, mesmo que o aparato experimental seja modificado. O [[Principio da incerteza]] e o [[Teorema da incompletude]], não são válidos, quanto à esse detalhe do [[Terceiro problema de Hilbert]]; associado ao [[Sexto problema de Hilbert]]. {{notas e referências}}
