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Proporcionalidade: diferenças entre revisões

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{{Sem-notas|data=abril de 2010}}
{{Minidesambig|outras acepções - ou casos específicos como as proporções [[proporção direta|direta]] ou [[variação com o inverso do quadrado|com o inverso do quadrado]] -|proporcionalidade (desambiguação)}}
 
A '''proporcionalidade''', para a [[matemática]], a [[química]] e a [[física]], é a mais simples e comum relação entre grandezas. A proporcionalidade direta é um conceito matemático amplamente difundido na população leiga pois é bastante útil e de fácil resolução através da "[[regra de três]]". Quando existe proporcionalidade direta, a razão (divisão) entre os correspondentes valores das duas grandezas relacionadas é uma constante, e a esta constante dá-se o nome de constante de proporcionalidade.
 
==Definição==
Em regra, a '''proporcionalidade''' é uma [[relação binária]] que pode ocorrer numa dupla de [[Função (matemática)|funções]] reais de mesmo domínio. Uma função é proporcional a outra se e somente se existe(m) alguma(s) constante(s) real(is) &ndash; denominada(s) '''constante(s) de proporcionalidade''' &ndash; que igual(em) cada razão entre as valorações. Então, dados um conjunto <math>X \subseteq \mathbb{R}</math> e duas funções <math>f, g: X \to \mathbb{R}</math>, temos que:
''<math>f</math> é proporcional a <math>g</math> se e só se existe alguma constante real <math>k</math> tal que, para todo <math>x</math> ao longo de <math>X</math>, <math>\frac{f(x)}{g(x)} = k</math>''
 
Isso é
:<math>f \propto g \iff \exists k \in \mathbb{R} .\quad \forall x \in X .\quad \frac{f(x)}{g(x)} = k</math>
Isso vale para os números reais; álgebras exóticas não serão abordadas nesse artigo.
 
Sendo verdadeira a proporcionalidade, existirão exatamente um ou dois valores possíveis para <math>k</math>.
 
:<math>\forall x \in X .\quad k \in \left\{ \frac{f(x)}{g(x)}, \frac{g(x)}{f(x)} \right\}</math>
 
E mantêm a propriedade de serem [[Inverso multiplicativo|inversas multiplicativas]] uma da outra.
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Toda função é proporcional a si mesma.
 
:
:<math>f \propto f</math>
 
Provada a partir da definição:
 
:
:<math>\forall x \in X .\quad \frac{f(x)}{f(x)} = 1</math>
 
Este é o único caso em que existe uma só constante real de proporcionalidade.
Linha 37 ⟶ 31:
Não existe uma ordem exacta dos objetos, pois seja qual for a sua colocação a proporcionalidade não se altera.
 
:
:<math>f \propto g \iff g \propto f</math>
 
Isso porque compartilham do mesmo conjunto de constantes de proporcionalidade:
 
:<math>\forall x \in X .\quad k \in \left\{ \tfrac{f(x)}{g(x)}, \tfrac{g(x)}{f(x)} \right\} = \left\{ \tfrac{g(x)}{f(x)}, \tfrac{f(x)}{g(x)} \right\}</math>
 
==== Transitiva ====
Linha 77 ⟶ 69:
 
== Formas de proporcionalidade ==
===Proporcionalidade inversa===▼
{| {{prettytable}} width="500"
! width="100" | Retórica
! Simbologia
! Exemplo
|-----
! "variação proporcional"
| <math>\Delta a \propto \Delta b</math>
| [[Retas paralelas]]
|-----
! "directamente proporcional"
| <math>a \propto b</math>
| '''Semelhança de triângulos'''
|-----
! "inversamente proporcional"
| <math>ab \propto 1</math>
| [[Lei de Boyle-Mariotte]] (pressão e volume)
|-----
! "proporcional ao quadrado"
| <math>a \propto b^2</math>
| [[Esfera (geometria)#Área e volume|Esfera]] (raio e volume)
|-----
! "inversamente proporcional ao quadrado"
| <math>ab^2 \propto 1</math>
| [[Gravidade#Lei de Newton de Gravitação Universal|Gravitação Universal]] e [[Lei de Coulomb]] (força e distância)
|-----
! "proporcional ao cubo"
| <math>a \propto b^3</math>
| '''Semelhança de pirâmides'''
|-----
! "inversamente proporcional ao cubo"
| <math>ab^3 \propto 1</math>
| [[Força dipolo permanente]] (força e distância)
|-----
! "quadrado proporcional ao cubo"
| <math>a^2 \propto b^3</math>
| [[Leis de Kepler#Terceira Lei de Kepler: Lei dos tempos|Terceira lei de Kepler]] (período e semieixo maior)
|-----
! "em divina proporção"
| <math>\tfrac{a+b}{a} = \tfrac{a}{b}</math>
| As alturas do [[Homem vitruviano]] até o umbigo e até a cabeça.
|-----
|}
 
▲===Proporcionalidade inversa===
Se duas funções são '''inversamente proporcionais''', então uma é proporcional ao [[inverso multiplicativo]] da outra.
 
:<math>a \propto b^{-1} \iff b \propto a^{-1}</math>
 
Isso ocorre por que podemos inverter ambos os termos da expressão de proporcionalidade. Ambas as formas estabelecem que:
 
:
:<math>ab \propto 1</math>
 
==="Divina proporção"===
Quando o "[[proporção áurea|número de ouro]]" <math>\left( \varphi \approx 1,618 \right)</math> é uma constante duma relação verdadeira de proporcionalidade entre funções positivas diz-se que estão em '''divina proporção'''.
 
Isso ocorre se e somente se:
 
:<math>\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} \quad\therefore\quad \frac{a}{b} = \varphi</math>
 
==Aplicações==
Linha 141 ⟶ 87:
A proporcionalidade também é de interesse das [[arte]]s e do estudo da [[estética]].
==Linearização ==
Embora a mais simples relação entre grandezas, é sabido contudo que grande parte das relações encontradas entre grandezas físicas naturais não se fazem mediante [[proporção direta]]. Há contudo ferramentas matemáticas específicas, a exemplo a [[Proporção direta#Linearização|troca de variáveis]] e as [[linearização|linearizações]], que permitem reduzir uma relação inicialmente mais complicada a uma relação de proporção direta, quando não ao longo de todo o domínio de validade da relação, ao menos localmente. A expansão em [[séries de Taylor]] desempenha importante papel em áreas científicas exatas tanto em teorias como na prática. Indica-se a leitura de artigos específicos para mais informações sobre o assunto.
*
 
== Ver também ==
{{Wikilivros|Matemática para concursos/Razão e proporção|Razão e proporção}}
*[[Razão (matemática)|Razão]]
*[[Proporção direta]]
*[[Proporção inversa]]
*[[Variação com o inverso do quadrado]]
*[[Variação com o quadrado]]
*[[Variação com o cubo]]
*[[Linearização]]
 
== Bibliografia ==
* Lima, Elon Lages. Temas e problemas. 1.ed. SBM, 2001. 193 p. [http://www.ensinomedio.impa.br/materiais/tep/cap1.pdf Capítulo 1]. ISBN 8585818166
 
{{esboço-física}}
{{esboço-matemática}}
 
[[Categoria:Álgebra]]
[[Categoria:Terminologia matemática]]
[[Categoria:Grandezas físicas]]
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