Equação diferencial linear: diferenças entre revisões
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| style="text-align: left;"|<math display="block">a_n(x) \frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1}(x) \frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + ... + a_1(x)\frac{dy}{dx} + a_0(x)y = g(x).</math>
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As soluções de uma '''equação diferencial linear''' podem ser somadas a fim de produzir uma nova solução. Diz-se que uma equação diferencial é linear quando satisfaz duas características:
* Cada coeficiente <math>a_n</math> e o termo de não-homogeneidade só dependem da variável independente, no caso x;
* A variável dependente, no caso y, e suas [[Derivada|derivadas]] são de primeiro grau.
Um exemplo de [[equação diferencial]] não linear :
<math display="block">\left ( \frac{d^2y}{dx^2} \right )^3 - 2xy = 1.</math>
== Introdução ==
Uma equação diferencial linear também pode ser escrita de forma condensada:
<math display="block">L_n[D]y(x)=g(x)</math>
Onde <math>L_n[D]</math> é dito um operador linear diferencial, atuando sobre y(x) e tendo a forma de:
<math display="block">L_n[D]=a_n(x)D^n+a_{n-1}(x)D^{n-1}+ \cdot \cdot \cdot + a_1(x)D^1+a_0(x),\ sendo \ D^j=\frac{d^j}{dx^j}</math>
[[Equação diferencial|Equações diferenciais]] são classificadas quanto à ordem n, sendo n a a ordem mais alta de uma derivada com a qual o termo dependente (y(x)) está envolvido. Para resolver uma [[Equação diferencial|equação diferencia]]<nowiki/>l são precisos n valores iniciais, no caso de [[Equação diferencial ordinária|EDO’s]], ou n condições de contorno, no caso de [[Equação diferencial parcial|EDP’s]].
As equações diferenciais lineares podem ser classificadas em:
* Homogêneas se g(x)=0 para todo x ou não-homogêneas, caso essa condição não seja satisfeita;
* Ordinárias ([[Equação diferencial ordinária|EDO’s]]) ou parciais ([[Equação diferencial parcial|EDP’s]]);
* Coeficientes constantes se todos os <math>a_n</math> forem [[Função constante|funções constantes]].
==Equação diferencial linear de ordem 1==
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<math>y = \frac {e^{2x}}{4} + Ce^{-2x}.</math>
== Equação Diferencial Linear Homogênea com Coeficientes Constantes ==
Diz-se que uma [[equação diferencial]] é homogênea de coeficientes constantes quando seu termo fonte, ou forçante, é igual a zero para todo o domínio e seus <math>a_n</math> são [[Função constante|funções constantes]]. Por exemplo:
<math display="block">y''(x) + 2*y'(x)+5=0</math><math display="block">4*y'(x)+y(x)=0</math>
A [[Equação de Euler-Cauchy]] é um exemplo muito famoso de equação diferencial homogênea com coeficientes constantes.
=== Exemplo: ===
Dada a [[equação diferencial]] a seguir, com suas respectivas condições iniciais. Observe que são necessárias duas condições iniciais, já que a equação é de segunda ordem.
<math display="block">y''(t)+3*y'(t)+2*y(t)=0</math><math display="block">y(0)=0 \ \ \ y'(0)=1</math>Aplica-se a [[Transformada de Laplace]], de modo que:
<math display="block">L \{y''(t) \}+3L \{y'(t) \}+2L \{y(t) \}=0</math><math display="block">s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)+3(sY(s)-y(0))+2Y(s)=0</math><math display="block">s^2Y(s)-1+3sY(s)+2Y(s)=0</math><math display="block">Y(s)=\frac{1}{(s+2)(s+1)}</math>
Agora aplica-se a [[Transformada inversa de Laplace|Transformada Inversa de Laplace]] para se encontrar a solução no domínio do tempo:
<math display="block">y(t)=-e^{-2t}+e^{-t}</math>
== Equação Diferencial Linear Homogênea com Coeficientes Variáveis ==
É aquela [[equação diferencial]] com termo fonte igual a zero para todo o domínio e com os coeficientes sendo funções que assumem diferentes valores de acordo com o termo independente. Por exemplo:
=== <math display="block">2y'(x)+xy(x)=0</math><math display="block">10xy''(x)+5xy'(x)+y(x)=0</math>Exemplo:<ref>{{citar livro|nome = Esequia|sobrenome = Sauter|título = Transformada de Laplace|ano = 2015|isbn = |nome2 = Fábio|sobrenome2 = Azevedo|seção = 7}}</ref> ===
<math display="block">ty''(t)+y'(t)+9ty(t)=0</math><math display="block">y(0)=5 \ \ \ \ y'(0)=0</math>Aplica-se a [[Transformada de Laplace]]:
<math display="block">-\frac{d}{ds}(s^2Y(s)-5s)+sY(s)-5-9\frac{d}{ds}Y(s)=0</math><math display="block">-s^2Y'(s)-2sY(s)+sY(s)-9Y'(s)=0</math><math display="block">\frac{Y'(s)}{Y(s)}=-\frac{s}{s^2+9}</math>Sendo K uma constante de integração:<math display="block">ln(Y(s))=-\frac{1}{2}ln(s^2+9) + K</math><math display="block">Y(s)=\frac{K}{\sqrt{s^2+9}}</math>Aplicando a [[Transformada inversa de Laplace|Transformada Inversa]] e utilizando as condições iniciais:
<math display="block">y(t)=KJ_0(3t)</math><math display="block">y(t)=5J_0(3t)</math>
Onde <math display="inline">J_0</math> é a [[Função de Bessel]] de ordem zero.
== Equação Diferencial Linear Não-Homogênea com Coeficientes Constantes ==
[[Equação diferencial]] com funções constantes nos termos <math>a_n</math> e termo forçante diferente de zero em pelo menos um ponto do domínio. Há duas formas para se resolver esse tipo de equação, na primeira encontra-se uma solução particular através do método de variação de parâmetros ou de coeficientes a determinar e depois uma solução denominada geral, a qual corresponde à solução para a equação homogênea correspondente. A segunda forma é aplicar a [[Transformada de Laplace]] obtendo-se a solução diretamente.
=== Exemplo: ===
Dada a seguinte [[equação diferencial]], onde <math>\delta (t- \pi)</math> é a função [[Delta de Dirac]] aplicada em <math>\pi</math>, aplica-se a [[Transformada de Laplace]].
<math display="block">y''(t)+y(t)=\delta(t- \pi)</math><math display="block">y(0)=0 \ \ \ y'(0)=1</math><math display="block">L\{ y''(t) \} +L\{ y(t) \} = L\{ \delta(t- \pi) \}</math><math display="block">s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)+Y(s)=e^{-\pi s}</math><math display="block">Y(s)=\frac{e^{-\pi s}}{s^2+1}+\frac{1}{s^2+1}</math>Aplicando-se a [[Transformada inversa de Laplace|Transformada Inversa:]]
<math display="block">y(t)=u(t-\pi)*sen(t-\pi)+sen(t)</math>Onde <math>u(t-\pi)</math> é a [[Função de Heaviside]] aplicada em <math>\pi</math>.
== Sistemas de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem ==
[[Sistema de equações diferenciais|Sistemas de equação diferenciais]] lineares surgem naturalmente em problemas físicos e de engenharia. Os de primeira ordem de dimensão n podem ser descritos da seguinte maneira<ref>{{citar livro|nome = William E|sobrenome = Boyce|título = Differential Equations|ano = 2010|isbn = 978-0-470-45824-2|nome2 = James R|sobrenome2 = Brannan|subtítulo = An Introduction to Modern Methods and Applications}}</ref>:
<math display="block">x'_1=p_{11}(t)x_1+p_{12}(t)x_2+ \cdot \cdot \cdot +p_{1n}(t)x_n + g_1(t)</math><math display="block">x'_2=p_{21}(t)x_1+p_{22}(t)x_2+ \cdot \cdot \cdot +p_{2n}(t)x_n + g_2(t)</math><math display="block">\cdot \ \cdot \ \cdot</math><math display="block">x'_n=p_{n1}(t)x_1+p_{n2}(t)x_2+ \cdot \cdot \cdot +p_{nn}(t)x_n + g_n(t)</math>
== Ver também ==
*[[Equação diferencial]]
*[[Equação diferencial de Bernoulli|Equação de Bernoulli]]
*[[Transformada de Laplace]]
== Ligações externas ==
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{{referências}}
<references />{{Equações diferenciais}}▼
▲{{Equações diferenciais}}
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