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Movimento harmônico simples: diferenças entre revisões

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{{Mecânica Clássica|Cinemática}}
O '''movimento harmônico simples ''' (MHS) é o movimento oscilatório ocorrido quando a [[aceleração]] e a [[força resultante]] são proporcionais e opõem ao deslocamento. É um tipo de frequência do movimento,onde oscila a massa.<ref name="Editora Ltc 2009">Física para cientistas e engenheiros,Editora Ltc, Edição 6, 2009, Paul Tipler e Gene Mosca, página 466,ISBN 978-85-216-1710-5</ref> É explicável por um modelo matemático para alguns movimentos vibratórios observáveis em alguns fenômenos ([[pêndulo]] ou vibração molecular).<ref>Walker, Jearl (2011). Principles of physics (9th ed.). Hoboken, N.J. : Wiley. ISBN 0-470-56158-0.</ref>
 
Num modelo físico construído com molas, o movimento harmônico simples é observável em massas presas a uma mola ligada a um suporte rígido, como uma parede. Se o sistema está na posição de repouso, diz-se em [[equilíbrio estático]].<ref name="Editora Ltc 2009"/> No entanto, se a massa é deslocada a partir da posição de equilíbrio, uma reposição do mesmo vai ser exercida pela mola, chamada de [[elasticidade]], seguindo assim a [[Lei de Hooke]].<ref>Física para cientistas e engenheiros, Editora Ltc, Edição 6, Paul Tipler e Gene Mosca, página 114,ISBN 978-85-216-1710-5</ref>
 
Matematicamente, a força resultante '''F''' é dada a partir de <math> \mathbf{F}=-k\mathbf{x}, </math> onde '''F''' é uma força elástica exercida por uma mola (no [[Sistema Internacional de Unidades|SI]]: Newton ''N'', ''k'' na [[Lei de Hooke]] ([[Newton (unidade)|N]]·m<sup>−1</sup>), e '''x''' que é o [[deslocamento]] a partir da posição de equilíbrio (em m).<ref name="Editora Ltc 2009"/> Contudo, para qualquer movimento harmônico simples, determina-se que quando o sistema é deslocado de sua posição de equilíbrio, uma força restauradora que obedece à lei de Hooke tende a restaurar o sistema para esse equilíbrio. Uma vez que a massa é deslocada da sua posição de equilíbrio, experimenta uma força resultante de restauração. Como resultado, ela [[aceleração|acelera]] e começa a voltar à posição de equilíbrio.
 
Quando a massa se ​​aproxima da posição de equilíbrio, a força restauradora diminui. Na posição de equilíbrio, a força resultante restaurada desaparece. No entanto, em ''x''= 0, a [[força]] da massa não desaparece devido ao [[impulso]] da força restauradora que agiu sobre ele. Portanto, a massa continua além da posição de equilíbrio, comprimindo a mola. Então, a força resultante restaurada tende a desacelerar, até a sua [[velocidade]] desaparecer, tentando chegar novamente à posição de equilíbrio.<ref name="Editora Ltc 2009"/>
 
== Dinâmica do movimento harmônico simples ==
[[Ficheiro:Simple Harmonic Motion Orbit.gif|thumb|upright=1.1|O movimento harmônico simples mostra que no espaço real (''real space'') e no [[espaço fásico]] (''phase space'') a [[órbita]] é periódica (aqui a velocidade e a posição dos eixos foi revertida a partir da convenção padrão, a fim de alinhar os dois diagramas).]]
[[Ficheiro:muelle.gif|thumb|upright=1.1|A posição, a velocidade e a aceleração de uma oscilação harmônico]]
Para o movimento harmônico simples unidimensional, a equação dos movimentos é aplicada à segunda lei linear com uma [[equação diferencial ordinária]] com seus coeficientes constantes, a partir da [[segunda lei de Newton]] e da lei de Hooke.
 
:<math> F_{net} = m\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = -kx,</math>
onde ''m'' é a [[massa inercial]] com a [[oscilação]] do corpo, ''x'' é o vetor de [[deslocamento]] para o [[equilíbrio estático]] e ''k'' é a [[Lei de Hooke|equação da mola]], sendo:
 
<math> \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = -\left(\frac{k}{m}\right)x</math>
 
Abaixo, uma resolução da equação diferencial, obtendo-se um [[senoide]] como solução:
 
[[Ficheiro:fasorxva.gif|thumb|upright|A posição, a velocidade e a aceleração do movimento harmônico simples e as suas fases]]
<math> x(t) = c_1\cos\left(\omega t\right) + c_2\sin\left(\omega t\right) = A\cos\left(\omega t - \varphi\right),</math>
onde
:<math> \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}, </math>
:<math> A = \sqrt{{c_1}^2 + {c_2}^2}, </math>
:<math> \tan \varphi = \left(\frac{c_2}{c_1}\right), </math>
Na solução, ''c''<sub>1</sub> e ''c''<sub>2</sub> são duas constantes determinadas nas condições iniciais e a sua origem está levando a uma posição de equilíbrio. Cada uma destas constantes leva a um padrão físico ao movimento: ''A'' é a amplitude (deslocamento máximo da posição de equilíbrio), {{nowrap|''ω'' {{=}} 2π''f''}} é a sua [[frequência angular]], e ''φ'' é uma fase. Usando as técnicas do [[cálculo diferencial]], a [[velocidade]] e a [[aceleração]] têm uma das seguintes funções de tempo:
 
:<math> v(t) = \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = - A\omega \sen(\omega t-\varphi),</math>
:<math> a(t) = \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = - A \omega^2 \cos( \omega t-\varphi).</math>
 
A aceleração pode ser expressado pela função de deslocamento:
:<math> a(x) = -\omega^2 x.\!</math>
 
Já que {{nowrap|''ω'' {{=}} 2π''f''}},
:<math>f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}},</math>
 
e que {{nowrap|''T'' {{=}} 1/''f''}} onde T é o período de tempo,
:<math>T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.</math>
 
Estas equações demonstram que o movimento simples harmônico é isócrono (o período e a frequência são independentes da amplitude e da fase inicial do movimento).<ref name="Editora Ltc 2009"/>
 
== Energia do movimento harmônico simples ==
A [[energia cinética]] ''K'' de um sistema em função do tempo ''t'' é:
:<math> K(t) = \frac{1}{2} mv^2(t) = \frac{1}{2}m\omega^2A^2\sin^2(\omega t - \varphi) = \frac{1}{2}kA^2 \sin^2(\omega t - \varphi),</math>
e a [[energia potencial]] é:
:<math>U(t) = \frac{1}{2} k x^2(t) = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega t - \varphi).</math>
A adição entre a energia cinética e potencial no cálculo da [[energia mecânica]] é medida por:
:<math>E = K + U = \frac{1}{2} k A^2.</math>.<ref name="Jain12">{{Harvnb|Jain|2009|p=12}}</ref>
 
== Aplicações ==
Abaixo tem alguns exemplos de sistemas que usam o movimento harmônico simples:
 
=== Massa na mola ===
[[Ficheiro:Simple harmonic oscillator.gif|direita|frame|Um sistema de massa-mola não-amortecida passa por um movimento harmônico simples.]]
Uma massa ''m'' equilibrada com uma mola constante ''k'' mostra o movimento harmônico simples no espaço. A equação é :<math> T= 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}</math> que apresenta que o período de oscilação é independente tanto da amplitude e a aceleração gravitacional.
 
Para corroborar essa equação analisa-se o sistema em sua posição de equilíbrio e em sua amplitude máxima. Em sua posição de equilíbrio, da para converte para a linguagem matemática como: <math>kx' = mg</math>, onde x' é a deformação da mola em relação a sua posição natural e g é a gravidade.
 
Analisando o sistema em sua deformidade máxima é observado que a força resultante é derivada da diferença entre a força elástica da mola, em sua nova posição x", assim o deslocamento total da mola é igual à x'+x", e a força gravitacional. Esse movimento pode ser comparado a um movimento circular, onde a força resultante é a resultante centrípeta: <math>Rc = \frac{mv^2}{r}</math>, onde v seria a velocidade de um móvel percorrendo essa trajetória e r seria o raio da circunferência, que nesse caso será igual ao deslocamento da posição de equilíbrio até a amplitude máxima, ou seja, x".
 
Igualando a resultante centrípeta à força resultante atuante na massa presa à mola, obtém-se:
 
<math>\frac{mv^2}{x''} = k(x'+x'')-mg</math>
 
<math>\frac{mv^2}{x''} = kx'+kx''-mg</math>
 
Como kx' é igual à mg:
 
<math>\frac{mv^2}{x''} = kx''</math>
 
E sabendo que velocidade é a razão entre o deslocamento, que seria o valor da circunferência, 2πr, ou seja, 2πx", e o tempo, que seria o período para descrever todo o movimento. Então:
 
<math>v^2 = \frac{4\pi^2x''^2}{T^2}</math>
 
Substituindo:
 
<math>\frac{m4\pi^2x''^2}{T^2x''} = kx''</math>
 
<math>\frac{1}{T^2}=\frac{k}{m4\pi^2}</math>
 
<math>T^2=\frac{m4\pi^2}{k}</math>
 
<math>T=\sqrt{\frac{m4\pi^2}{k}}</math>
 
<math>T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}</math><ref name="Editora Ltc 2009"/>
 
 
=== Movimento circular uniforme ===
O movimento harmônico simples pode ser muitas vezes considerado de uma dimensão (unidimensional) de uma projeção matemática do [[movimento circular uniforme]]. Se um objeto move com uma [[velocidade angular]] ''ω'' ao redor de um círculo de um raio ''r'' centralizado de uma origem de um plano de ''x''-''y'', este movimento é em cada coordenada um movimento simples harmônico com uma amplitude ''r'' e uma frequência angular ''ω''.<ref name="Editora Ltc 2009"/>
 
=== Massa de um pêndulo ===
[[Ficheiro:Simple Pendulum Oscillator.gif|direita|frame|O movimento de um pêndulo não-amortecida aproxima para o movimento simples harmônico se a amplitude é muito pequena relativo
do comprimento L da haste.]]
 
Na aproximação para ângulos pequenos, o movimento de um simples pêndulo é aproximado por um movimento simples harmônico. O período da massa ligado a uma cadeia de comprimento ''
ℓ'' com a aceleração da gravidade ''g'' é dada por:
 
<math> T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}</math>
 
Inicialmente, para deduzir a equação do período, estabelece-se que o ângulo θ descrito pelo pêndulo de sua posição de repouso até sua amplitude máxima seja menor que 10°, assim é possível [[Aproximação para ângulos pequenos|aproximar o valor do ângulo com seu seno]]. Então, analisa-se o movimento em sua posição de amplitude máxima, onde atuam duas forças na massa presa ao pêndulo, a tensão ψ na corda e seu peso mg, onde g é a gravidade.
 
[[Imagem:Mhs2.png|thumb|upright]]
 
A força de reconstituição será igual à mgsen(θ), e como sen(θ) pode ser aproximado ao valor de θ, ou seja, x/L, onde x é o deslocamento da massa e L é o comprimento do pêndulo<ref>[[David Halliday|HALLIDAY, David]]. Adir Moysés Luiz et al. ''Fundamentos de Física 2:'' Gravitação, ondas e termodinâmica. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. 1991</ref>.Então:
 
<math> F = -mgsen(\theta)</math> O sinal negativo representa que a força é uma força de restauração
 
<math> F = -mg\theta </math>
 
<math> F = -mg\frac{x}{L} </math>
 
<math> F = - (\frac{mg}{L})x </math>
 
Considerando a formula acima, compara-a à Lei de Hooke, sendo que um pêndulo simples é equivalente a um oscilador linear, portanto, a constante k de reconstituição seria igual à mg/L. Substituindo o valor de k na fórmula do período de um movimento harmônio simples:
 
<math> T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}</math>
 
<math> T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{mg/L}}</math>
 
<math> T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}</math><ref name="Editora Ltc 2009"/>
 
== Ver também ==
* [[Dinâmica]]
 
{{Referências}}
 
{{Portal3|Física|Ciências}}
 
{{DEFAULTSORT:Movimento Harmonico Simples}}
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