Diferenças entre edições de "Número cardinal"

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Em geral, aprendemos e nos acomodamos tão facilmente a passar do ponto de vista cardinal para o ordinal que quase não distinguimos mais essa diferença. Num exemplo simples: o mês de setembro é composto de 30 dias. O número 30 indica o total, a quantidade absoluta, de dias desse mês. Trata-se, portanto, de um número cardinal.
 
Porém, empregamos outro ponto de vista quando dizemos "dia 30 de outubro". Nesse caso o número 3não30 não está sendo usado para indicar os 30 dias do mês, mas o trigésimo dia de outubro, especificando o seu lugar na ordem de sucessão dos dias desse mês, explicando uma ordem. Trata-se, então, de uma utilização ordinal.
 
: Dado um conjunto A, o cardinal deste conjunto é simbolizado por |A|
Existe uma relação entre o cardinal de um conjunto e o [[conjunto de partes]] ou conjunto potência:
 
: <math>|A| = n \Rightarrow |P(A)| = 2^n</math> \\BIXO PIRULETA
 
:
Onde |P(A)| é o cardinal do conjunto de partes.
:
 
Onde |P(A)| é o cardinal do conjunto de partes. [[Batman no cinema|BATMAN]]
Os números cardinais de alguns conjuntos representam-se com símbolos especiais:
* O cardinal dos [[números reais]]: card(<math>\mathbb{R}</math>) = c (contínuo)
* O cardinal dos [[números naturais]]: card(<math>\mathbb{N}</math>) = <math>\aleph_0</math> ([[Aleph (matemática)|alef-0]])
 
A [[teoria dos conjuntos]] define rigorosamente o que significa <math>|A| = |B|</math> e <math>|A| \le |B|</math> e, em consequência, os demais símbolos de comparação; por exemplo:
 
: <math>|A| > |B| \leftrightarrow (|B| \le |A| \land \lnot (|A| = |B|))</math>
 
Os númcomp
* <math>|A| = |B|</math> quando existe uma [[bijeção]] entre A e B
* <math>|A| \le |B|</math> quando existe uma [[função injetiva]] de A para B
Um cardinal <math style="vertical-align:-0%;">\alpha^{\,}</math> que é o sucessor de um outro cardinal <math style="vertical-align:-20%;">\beta^{\,},</math> ou seja <math style="vertical-align:-20%;">\alpha = \beta^{+\!}</math> é dito ''cardinal sucessor''. Nesse caso, <math style="vertical-align:-20%;">\beta^{\,}</math> é dito o ''antecessor'' de <math style="vertical-align:-0%;">\alpha^{\,}.</math> Por exemplo, o número 3 é um cardinal sucessor, pois 3 é o sucessor de 2 (e 2 o antecessor de 3). Por outro lado, o cardinal 0 não é sucessor, poi não tem antecessor.<ref>[[#levy2002basicsettheory|Levy [2002] ]], p. 89−90.</ref>
 
=== Cardinal [[Bixo piruleta|limite]] ===
Um cardinal infinito que não é sucessor é denominado ''cardinal limite'' e em <math style="vertical-align:-10%;">\aleph_\alpha</math> temos que <math> \alpha = \mbox{0} </math> ou <math> \alpha </math> é um [[ordinal limite]].<ref>[[#levy2002basicsettheory|Levy [2002] ]], p. 90.</ref> Como consequência disso, se <math style="vertical-align:-0%;">\kappa^{\,}</math> é um cardinal limite, então:
 
: Se <math style="vertical-align:-0%;">\lambda < \kappa^{\,},</math> então <math style="vertical-align:-0%;">\lambda^{+} < \kappa^{\,}</math>
 
=== Cardinal limite forte ===
De maneira análoga à propriedade dos cardinais limites, pode ser definida uma propriedade mais forte. Um cardinal <math style="vertical-align:-0%;">\kappa^{\,}</math> diz-se ''limite forte'' se:
 
: Se <math style="vertical-align:-0%;">\lambda < \kappa^{\,},</math> então <math style="vertical-align:-30%;"> \left| \mathcal{P} \left(\lambda \right) \right| < \kappa^{\,}</math>
 
Equivalentemente:
 
: Se <math style="vertical-align:-0%;">\lambda < \kappa^{\,},</math> então <math style="vertical-align:0%;"> 2^{\lambda} < \kappa^{\,}</math><ref>[[#drake1974settheorylargecardinals|DRAKE(1974)]], p. 67.</ref>
 
E portanto:<ref>[[#jech2006set|JECH (2006)]], p. 58.</ref>
 
: <math style="vertical-align:-0%;">\forall\lambda < \kappa^{\,} \left( 2^{\lambda} < \kappa^{\,} \right) </math>
 
Todo cardinal limite forte é também um cardinal limite.<ref name="HRBACEK JECH 2006 p. 168">[[#hrbacekjech1999introduction|HRBACEK JECH (2006)]], p. 168.</ref>
 
Em '''ZF''' mais a [[Hipótese do continuum#Hipótese do Continuum generalizada|Hipótese Generalizada do Contínuum]] as propriedades "ser uma cardinal limite" e "ser um cardinal limite forte" são equivalentes.<ref name="HRBACEK JECH 2006 p. 168"/>
 
=== Cardinal regular e singular ===
{{Artigo principal|Cardinais regulares e singulares}}
 
Um cardinal <math style="vertical-align:-0%;">\kappa^{\,}</math> que é igual a sua própria [[cofinalidade]], <math style="vertical-align:-30%;">\kappa^{\,} = \mbox{cf}\left(\kappa^{\,}\right)</math> é denominado ''regular''. Caso contrário, diz-se ''singular''.<ref>[[#levy2002basicsettheory|Levy [2002] ]], p. 132.</ref>
 
=== Cardinais finitos ===
Note-se que as definições acima são consistentes com as operações binárias usuais para números naturais, exceto <math>0^0</math> que não está definido para números naturais, mas, para cardinais, é igual a um.
 
==Bibliografia==