Teorema de Borsuk-Ulam: diferenças entre revisões

 

Uma versão mais forte do enunciado relacionado ao Teorema de Borsuk–Ulam é que toda aplicação que preserva pontos antípodas de <math>S^n</math> em <math>S^n</math> deve ter grau ímpar.

 

==Teorema de Borsuk-Ulam em Dimensão um==

 

O fato de <math>c</math> ser um número ímpar mostra que <math>p(1)</math> é um inteiro não nulo e portanto <math> g_*\alpha</math> não é homotópico a um ponto. De fato, o laço <math> g_*\alpha </math> dá <math>c</math> voltas em torno do círculo. O morfismo <math> g_* </math> é um morfismo de um grupo trivial em um grupo isomorfo a <math> \mathbb{Z} </math> com imagem diferente do elemento neutro. Esta impossibilidade termina o argumento por absurdo. [[Q.E.D.]]

 

Como um [[corolário]] deste Teorema, temos que nenhum subconjunto de <math>\mathbb{R}^2</math> é homeomorfo a <math>S^2</math>.

 

Seja <math>f: S^n \to \mathbb{R}^n </math> uma aplicação contínua. Então existe <math> x \in S^n</math> tal que <math>f(x)=f(-x)</math>.

 

'''Prova:'''Suponha, [[ab absurdo]] que <math>f(x)=f(-x)</math> para todo <math>x </math>. Poderíamos então definir uma aplicação antípoda contínua <math>g: S^{n-1} \rightarrow S^{n-1}</math> por associar a <math>x</math> o ponto <math> g(x)</math>, que é o ponto pelo qual o vetor de origem em 0 e passando por <math>f(x)-f(-x)</math> intersecta <math>S^{n-1}</math>, o que é uma contradição. [[Q.E.D.]]

* O [[Teorema do ponto fixo de Brouwer]] ({{Harvnb|Matoušek|2003|p=25}}; {{Harvnb|Su|1997}}).

* O caso ''n'' = 2 é geralmente ilustrado dizendo-se que em qualquer instante dado, existe sempre um par de pontos antípodas na superfície da [[Terra]] com mesma temperatura e pressão barométrica. Isto pressupõe que a temperatura e a pressão barométrica variam continuamente na superfície terrestre.

 

{{Referências}}

 

 

* {{Link||2=http://naeg.prg.usp.br/pep07/arquivos/669/relatoriofinal-Gabriel.pdf |3=O Teorema de Borsuk-Ulam}}