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=== Conjuntos Bem Ordenados ===
Num conjunto bem-ordenado, todo subconjunto não-vazio tem um menor elemento. Dado o axioma da escolha dependente, isto é equivalente a dizer que o conjunto é totalmente ordenado e não há sequência infinita decrescente, algo talvez melhor de ser visualizado. Na prática, a importância da boa ordenação é justificada pela possibilidade de aplicações na indução transfinita, que diz, essencialmente, que qualquer propriedade que passar de um predecessor de um elemento para o próprio elemento deve ser verdade para todos os outros elementos (do dado conjunto bem-ordenado). Se os estados da computação (programa computacional ou jogo) podem ser bem ordenados de tal forma que cada passo é seguido por um passo “mais baixo”, então você pode ter certeza que a computação terminará
Agora, nós não queremos distinguir entre dois conjuntos bem ordenados eles somente diferem nos “rótulos dos seus elementos”, ou mais formalmente: se nós podemos parear os elementos do primeiro conjunto com os elementos do segundo, de tal forma que um elemento é menor do que outro no primeiro conjunto, então o par do primeiro elemento é menor do que o parceiro do segundo elemento no segundo conjunto, e vice-versa. Tal correspondência um-pra-um é chamada de isomorfismo de ordem e dois conjuntos bem-ordenados são isomórficos-de-ordem, ou similar (obviamente isto é uma relação de equivalência). Desde que exista um isomorfismo de ordem entre dois conjuntos bem-ordenados, o isomorfismo de ordem é único: isto torna bastante justificável considerar os dois conjuntos como essencialmente idênticos achar um representante “canônico” do tipo de isomorfismo (classe). Isto é exatamente o que os ordinais fornecem, assim como também fornecem a rotulagem canônica dos elementos de qualquer conjunto bem ordenado.
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