Número ordinal: diferenças entre revisões

Em geral, cada ordinal α é o tipo de ordem do conjunto de ordinais estritamente menores que o ordinal, o próprio α. Esta propriedade permite que todo ordinal seja representado como o conjunto de todos os ordinais menores que ele. Ordinais podem ser categorizados como: zero, ordinais sucessor e ordinais limite (de várias cofinalidades). Dada uma classe de ordinais, pode-se identificar um α-ésimo membro daquela classe, ou seja, pode-se indexá-los (conta-los). Tal classe é fechada e não-limitada se sua função de indexação é contínua e nunca para. A foma normal de Cantor representa unicamente cada ordinal como um somatório finito de potências ordinais de ω. Entretanto, isto não pode forma a base da notação universal dos ordinais devido a tal representação auto referencial, como ε₀ = ω^ε₀. Ordinais cada vez maiores podem ser definidos, mas eles ficam mais e mais difíceis de descrever. Qualquer número ordinal pode ser transformado em um espaço topológico por atribuí-lo com a topologia de ordem; esta topologia é discreta se e somente se o ordinal é um cardinal contável, ou seja, no máximo ω. Um subconjunto de ω+1 é aberto na topologia de ordem se e somente se ou ele é cofinito ou ele não contém ω como elemento.

 

Um número natural (que, neste contexto, inclui o número 0) pode ser usado para dois propósitos: para descrever o tamanho de um conjunto ou para descrever a posição de um elemento numa sequência. Quando restritos a conjuntos finitos, estes conceitos coincidem; há somente uma forma de inserir um conjunto finito numa sequência linear, a menos de isomorfismo. Ao lidar com conjuntos infinitos, deve-se distinguir entre a noção de tamanho, que leva a números cardinais, e a noção de posição, que é generalizado pelos números ordinais descritos aqui. Isto se deve, enquanto todo conjunto tem somente um tamanho (sua cardinalidade), há várias boa-ordenações não-isomórficas de qualquer conjunto infinito, como explicado abaixo.