Função contínua: diferenças entre revisões
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{{matemática}}
Em [[matemática]], uma [[função (matemática)|função]] é '''contínua''' quando, intuitivamente, as pequenas variações nos objectos correspondem a pequenas variações nas imagens. Nos pontos onde a função não é contínua, diz-se que a função é '''descontínua''', ou que se trata de um '''ponto de descontinuidade'''.
==Definições de Continuidade==
===Em [[espaço topológico]] ===
Diz-se que uma [[função (matemática)|função]] <math>f:X\rightarrow Y</math> entre [[espaço topológico|espaços topológicos]] é contínua se a [[imagem recíproca]] de qualquer aberto de <math>Y</math> é um aberto de <math>X</math>. Em termos de bolas, Dados dois espaços topológicos <math>M,N</math> dizemos que a aplicação <math>f:M\longrightarrow N</math> é contínua em <math>a\in M</math> da seguinte forma: Tomando as bolas abertas <math>B'=B(f(a),\epsilon)</math> e <math>B=B(a,\delta)</math>, tem-se que <math>f(B)\subset B'</math>,com <math>\epsilon >0</math> e <math>\delta >0</math>.
[[Ficheiro:Função contínua em termos de bolas.png|miniaturadaimagem|269x269px]]
=== Exemplos ===
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* Sejam <math>f: X \rightarrow Y</math> e <math>g: Y \rightarrow Z</math> funções contínuas. Então <math> g \circ f: X \rightarrow Z</math> também é uma função contínua.
Fato pois: qualquer que seja <math>A \subset Z</math> aberto, pela continuidade de <math>g</math>, temos que <math>g^{-1}(A)</math> é um aberto em <math>Y</math>. Portanto, pela continuidade de <math>f</math>, <math>f^{-1}(g^{-1}(A))</math> é um aberto em <math>X</math>. Mas <math>f^{-1}(g^{-1}(A)) = (g \circ f)^{-1}(A)</math>, o que prova a continuidade de <math>g \circ f</math>.
===Em [[espaço métrico]] ===
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:dado <math>\epsilon > 0, \exist \delta > 0</math> tal que <math> \forall x \in X, a - \delta < x < a + \delta</math> então .<math>f(a) - \epsilon < f(x) < f(a) + \epsilon </math>
</math>. Em termos de bolas, Dados dois espaços métricos <math>M,N</math> dizemos que a aplicação <math>f:M\longrightarrow N</math> é contínua em <math>a\in M</math> da seguinte forma: Tomando as bolas abertas <math>B'=B(f(a),\epsilon)</math> de centro <math>f(a)</math> pode-se encontrar uma bola <math>B=B(a,\delta)</math>, de raio <math>a</math> tal que f(B)\subset B'</math>
+
[[Ficheiro:Função contínua em termos de bolas.png|miniaturadaimagem|269x269px]]
Esta definição, com uma pequena adaptação, pode ser usada para uma função de um [[espaço métrico]] <math>E</math> em outro espaço métrico <math>F</math>: a função <math>f</math> é contínua em <math>a \in E</math> quando
:dado <math>\epsilon > 0, \exist \delta > 0</math> tal que <math>\forall x \in E, d_E(x, a) < \delta \rightarrow d_F(f(x), f(a)) < \epsilon</math>.
Diz-se que ''f'' é contínua em seu [[Domínio (matemática)|domínio]], ou simplesmente contínua, se ela for contínua em todos os pontos desse domínio.
Exemplo:
* Seja <math>f:X \longrightarrow Y</math> , <math>X</math> e <math>Y</math> espaços métricos não vazios. Se <math>\forall x,y \in X </math> tivermos que <math>d(f(x),f(y))\leq c\cdot d(x,y)</math>, então a aplicação <math>f </math> é contínua e a constante <math>c </math> é chamada de constante de Lipschitz. Na reta Real toda aplicação Lipschitiziana é uniformemente contínua.
=== Equivalência das Definições ===
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