Função contínua: diferenças entre revisões
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→Em espaço métrico: Def. por bolas e continuidade. |
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:dado <math>\epsilon > 0, \exist \delta > 0</math> tal que <math> \forall x \in X, a - \delta < x < a + \delta</math> então .<math>f(a) - \epsilon < f(x) < f(a) + \epsilon </math>
</math>. Em termos de bolas, Dados dois espaços métricos <math>M,N</math> dizemos que a aplicação <math>f:M\longrightarrow N</math> é contínua em <math>a\in M</math> da seguinte forma: Tomando as bolas abertas <math>B'=B(f(a),\epsilon)</math> de centro <math>f(a)</math> pode-se encontrar uma bola <math>B=B(a,\delta)</math>, de raio <math>a</math> tal que f(B)\subset B'</math>▼
[[Ficheiro:Função contínua em termos de bolas.png|miniaturadaimagem|269x269px]]
Esta definição, com uma pequena adaptação, pode ser usada para uma função de um [[espaço métrico]] <math>E</math> em outro espaço métrico <math>F</math>: a função <math>f</math> é contínua em <math>a \in E</math> quando
:dado <math>\epsilon > 0, \exist \delta > 0</math> tal que <math>\forall x \in E, d_E(x, a) < \delta \rightarrow d_F(f(x), f(a)) < \epsilon</math>.
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Diz-se que ''f'' é contínua em seu [[Domínio (matemática)|domínio]], ou simplesmente contínua, se ela for contínua em todos os pontos desse domínio.
=== Exemplo: ===
* Seja <math>f:X \longrightarrow Y</math> , <math>X</math> e <math>Y</math> espaços métricos não vazios. Se <math>\forall x,y \in X </math> tivermos que <math>d(f(x),f(y))\leq c\cdot d(x,y)</math>, então a aplicação <math>f </math> é contínua e a constante <math>c </math> é chamada de constante de [[Rudolf Lipschitz|Lipschitz]]. Na reta Real toda aplicação Lipschitiziana é uniformemente contínua.
=== Equivalência das Definições ===
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*{{Citar livro | sobrenome = Munkres|nome= J.|authorlink=James Munkres|título =Elementary Differential Topology, edição revisada| series= Annals of Mathematics Studies 54| editora=Princeton University Press|ano=1966| isbn =0-691-09093-9}}
*{{Citar livro | sobrenome = Lima|nome= Elon Lages |título = Análise Real - Funções de uma variável | volume= 1| series= Coleção Matemática Universitária | editora= IMPA |ano= 2013| edição= 12ª | isbn =978-85-244-0048-3|páginas= 198}}
<references />
{{Portal3|Matemática}}
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