Triângulo retângulo: diferenças entre revisões
Conteúdo apagado Conteúdo adicionado
mudei a figura de linguagem Etiquetas: Remoção considerável de conteúdo Editor Visual |
bot: revertidas edições de 187.59.8.179 ( modificação suspeita : -23), para a edição 46544307 de 186.203.133.162 |
||
Linha 2:
[[Imagem:Rtriangle.svg|miniatura|direita|ΔABC é um triângulo retângulo, pois BĈA = 90°]]
[[Imagem:Rectangle.svg|miniatura|direita]]
'''Triângulo retângulo''', em [[geometria]], é um [[triângulo]] que possui um [[ângulo reto]] e outros dois ângulos agudos, para tanto basta que tenha um ângulo reto (90°), pois a soma dos três ângulos internos é igual a um ângulo raso (180°). É uma figura geométrica muito usada na [[matemática]], no cálculo de áreas, volumes e no cálculo algébrico. Em um triângulo retângulo, sabendo-se as medidas de dois lados ou a medida de um lado mais a medida de um ângulo agudo, é possível calcular a medida dos demais lados e ângulos. A [[área]] de um triângulo retângulo é dada pela metade do produto dos menores lados. A relação entre os lados e ângulos de um triângulo retângulo é a base da trigonometria.
==Elementos do triângulo retângulo==
[[Imagem:Triângulo retângulo.svg|direita|miniatura|200px|Elementos de um triângulo retângulo. Os pontos ''A'', ''B'' e ''C'', os lados opostos ''a'' (hipotenusa), ''b'' e ''c'' (catetos) e as projeções de ''b'' e ''c'', ''m'' e ''n''.]]
[[Imagem:Triangulo-Rectangulo.svg|152px|right]]
Um triângulo retângulo é composto por quatro principais elementos:
* [[Cateto]]s;
* [[Hipotenusa]];
* Altura relativa à hipotenusa;
* Projeções dos catetos.
=== Catetos ===
Os [[cateto]]s são os menores lados do triângulo retângulo. Eles formam o ângulo de 90°.
=== Altura relativa à hipotenusa ===
A altura relativa à hipotenusa é a distância entre a hipotenusa e o vértice oposto.
=== Projeções dos catetos ===
A altura relativa à hipotenusa divide-a em duas partes, denominadas projeções dos catetos.
== Relações métricas do triângulo retângulo ==
As relações métricas do triângulo retângulo são quatro. Os três [[triângulo]]s formados ao traçar a altura relativa à hipotenusa são retângulos e semelhantes.
[[Imagem:Elementos do triângulo retângulo.svg|350px|thumb|Ilustração dos principais elementos do triângulo retângulo: ''a'' é a hipotenusa, ''b'' o cateto maior, ''c'' o cateto menor, ''h'' a altura relativa à hipotenusa, ''m'' a projeção do cateto ''b'' e ''n'' a projeção do cateto ''c'']]
* A hipotenusa é igual à soma das projeções.
: <math> a=m+n</math>
Por [[semelhança de triângulos]], temos que:
* O quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das projeções dos catetos.
* : <math> \frac{h}{m}=\frac{n}{h} \Rightarrow h^2=mn</math>
* O quadrado de um cateto é igual ao produto entre a sua projeção (que se encontra do seu lado) e a hipotenusa.
* : <math> \frac{b}{a}=\frac{m}{b} \Rightarrow b^2 = am</math>
* : <math> \frac{c}{a}=\frac{n}{c} \Rightarrow c^2 = an</math>
* O produto entre a hipotenusa e a altura relativa a ela é igual ao produto dos catetos.
* : <math> \frac{a}{c}=\frac{b}{h} \Rightarrow ah=bc</math>
== Teorema de Pitágoras ==
[[Imagem:Exemplo de um triângulo retângulo.svg|thumb|right]]
O [[Teorema de Pitágoras]] diz que:
{{quote2|A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.|Pitágoras}}
ou, em linguagem matemática:
: '''hipotenusa (AB)² = cateto (BC)² + cateto (CA)²'''
== Relações trigonométricas do triângulo retângulo ==
Outra maneira de calcular a medida dos lados de um triângulo retângulo é através da medida de um ângulo e um lado, usando a [[Trigonometria]]. As principais relações trigonométricas são: [[Seno]], [[Cosseno]] e [[Tangente]]. Há outras três: [[Cotangente]], [[Secante (trigonometria)|Secante]] e [[Cossecante]].
=== Seno de um ângulo ===
É dado pela razão entre os lados que formam o outro ângulo agudo, dado pela ordem :
: <math> \mbox{sen } A = {\mbox{cateto oposto} \over \mbox{hipotenusa}}</math>
=== Cosseno de um ângulo ===
Cosseno: É a razão entre a medida do cateto adjacente e a medida da hipotenusa e é dado pela razão entre os lados que formam o próprio ângulo agudo, dado pela ordem::
: <math> \cos A = {\mbox{cateto adjacente} \over \mbox{hipotenusa}}</math>
=== Tangente de um ângulo ===
É dado pela razão entre o Seno e o Cosseno de um ângulo, ou entre os catetos, dado pela seguinte ordem::
: <math> \mbox{tg } A = {\mbox{sen } A \over \cos A} = {\mbox{cateto oposto} \over \mbox{cateto adjacente}} </math>
=== Cotangente de um ângulo ===
É dado pela razão entre o Cosseno e o Seno de um ângulo, ou entre os catetos, dado pela seguinte ordem:
: <math> \mbox{cotg } A = {\cos A \over \mbox{sen } A} = {\mbox{cateto adjacente} \over \mbox{cateto oposto}} </math>
=== Secante de um ângulo ===
É dado pelo inverso do cosseno desse ângulo ou entre os lados que formam o próprio ângulo, dado na seguinte ordem:
: <math> \sec A = {1 \over \cos A} = {\mbox{hipotenusa} \over \mbox{cateto adjacente}} </math>
=== Cossecante de um ângulo ===
É dado pelo inverso do seno desse ângulo ou entre os lados que formam o outro ângulo agudo, dado na seguinte ordem:
: <math>
\mbox{cossec } A = {1 \over \mbox{sen } A} = {\mbox{hipotenusa} \over \mbox{cateto oposto}} </math>
== Ângulos notáveis ==
{| class="wikitable"
! Graus !! Radianos !! sen !! cos !! tg !! cotg !! sec !! cossec
|-
| 0 || 0 || <math>\tfrac{\sqrt{0}}{2}=0</math> || <math>\tfrac{\sqrt{4}}{2}=1</math> || <math>0</math> || <math>\infty</math> || <math>1</math> || <math>\infty</math>
|-
| 30 || <math>\tfrac{\pi}{6}</math> || <math>\tfrac{\sqrt{1}}{2}=\tfrac{1}{2}</math> || <math>\tfrac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\tfrac{2\sqrt{3}}{3}</math> || <math>2</math>
|-
| 45 || <math>\tfrac{\pi}{4}</math> || <math>\tfrac{\sqrt{2}}{2}=\tfrac{1}{\sqrt{2}}</math> || <math>\tfrac{\sqrt{2}}{2}=\tfrac{1}{\sqrt{2}}</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math>\tfrac{2\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\tfrac{2\sqrt{2}}{2}</math>
|-
| 60 || <math>\tfrac{\pi}{3}</math> || <math>\tfrac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\tfrac{\sqrt{1}}{2}=\tfrac{1}{2}</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\tfrac{\sqrt{3}}{3}</math> || <math>2</math> || <math>\tfrac{2\sqrt{3}}{3}</math>
|-
| 90 || <math>\tfrac{\pi}{2}</math> || <math>\tfrac{\sqrt{4}}{2}=1</math> || <math>\tfrac{\sqrt{0}}{2}=0</math> || <math>\infty</math> || <math>0</math> || <math>\infty</math> || <math>1</math>
|}
== Circunferência inscrita num triângulo retângulo ==
O [[diâmetro]] (d) de uma [[circunferência]] inscrita num [[triângulo rectângulo]] (a b c) é igual à soma dos catetos, menos a [[hipotenusa]], representado pela seguinte fórmula:
: <math>a + b = c + d</math>
[[Imagem:Triangulorectangulo.PNG|thumb|400px]]
* <math>a =</math> [[cateto]]
* <math>b =</math> cateto
* <math>c =</math> [[hipotenusa]]
* <math>r =</math> [[raio (geometria)|raio]] da [[circunferência]] inscrita
* <math>d =</math> [[diâmetro]] da circunferência inscrita
: <math>\left\{ \begin{matrix} a=x+r \Rightarrow x=a-r \, \left ( I \right )\\ b=y+r \Rightarrow y=b-r \, \left (II \right )\\ c=x+y \, \left (III \right ) \end{matrix} \right. </math>
Substituindo I e II em III, teremos
: <math>c=a-r+b-r \Rightarrow c=a+b-2r \Rightarrow c+2r=a+b </math>
Como:
: <math>d=2r \Rightarrow c+d=a+b</math>
==Ver também==
*[[Triângulo]]
*[[Teorema de Pitágoras]]
*[[Trigonometria]]
==Ligações externas==
{{Wikilivros|Matemática elementar|Geometria plana/Triângulos/Triângulo retângulo|Triângulo retângulo}}
*[http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigon1/mod114.htm Matemática Essencial: Trigonometria do Triângulo Retângulo]
*[http://seusaber.com.br/matematica/como-calcular-a-area-de-um-triangulo-retangulo.html Calculando a área do triângulo retângulo]
[[Categoria:Geometria do triângulo]]
| |||