Dodecaedro: diferenças entre revisões

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{{mais-notas|data=Dezembro de 2011}}
[[Ficheiro:Dodekaeder-Animation.gif|thumb|right|Dodecaedro]]
 
Um '''dodecaedro''' é um [[poliedro]] de 12 faces, 30 arestas e 20 vertices.
 
Um dodecaedro regular é constituído por 12 [[pentágono]]s regulares <ref name="redgrove.2">[[Herbert Stanley Redgrove]], ''Bygone Beliefs: Being a series of excursions in the byways of thought'' (1920), ''Chapter 2'', ''Pythagoras and his phylosophy'' [http://www.sacred-texts.com/etc/bb/bb03.htm <nowiki>[em linha]</nowiki>]</ref> e é um dos [[sólidos platónicos]].
 
==Dimensões==
Se a aresta de um dodecaedro regular é ''a'', o [[raio]] de sua [[esfera]] circunscrita (que tangencia todos os vértices do dodecaedro) é
:<math>r_u = a\frac{\sqrt{3}}{4} \left(1 + \sqrt{5}\right) \approx 1.401258538 \cdot a</math>
 
e o raio de sua esfera inscrita (que tangencia cada face) é
:<math>r_i = a\frac{1}{2} \sqrt{\frac{5}{2} +\frac{11}{10}\sqrt{5}} \approx 1.113516364 \cdot a</math>
 
enquanto o raio médio (que passa pelo centro de cada aresta) é
:<math>r_m = a\frac{1}{4} \left(3 +\sqrt{5}\right) \approx 1.309016994 \cdot a</math>
 
Essas quantidades podem também ser expressas como
:<math>r_u = a\, \frac{\sqrt{3}}{2} \varphi</math>
:<math>r_i = a\, \frac{\varphi^2}{2 \sqrt{3-\varphi}}</math>
:<math>r_m = a\, \frac{\varphi^2}{2}</math>
 
onde ''φ'' é o [[número de ouro|proporção áurea]].
 
Note que, dado um dodecaedro pentagonal regular de aresta 1, ''r<sub>u</sub>'' é o raio da esfera que circunscreve um cubo de aresta ''φ'', e ''r<sub>i</sub>'' é a [[apótema]] de um pentágono regular de aresta ''φ''.
 
== Área e volume ==
 
:
A [[área]] ''A'' e o [[volume]] ''V'' de um dodecaedro regular de aresta ''a'' é:
:<math>A=3\sqrt{25+10\sqrt5}a^2</math>
:<math>V=\begin{matrix}{1\over4}\end{matrix}(15+7\sqrt5)a^3</math>
O dodecaedro possui 20 vértices e 30 arestas
 
== Planificação ==
 
[[Planificação de um poliedro|Planificação]] de um dodecaedro regular
 
[[Ficheiro:Dodecahedron flat.svg|611x611px]]
 
== Dual ==
O [[poliedro dual]] do dodecaedro é o [[icosaedro]].
 
== Dodecaedro na natureza ==
[[Ficheiro:Dualdodecaedre.png|200px]]
 
== Dodecaedro na natureza ==
 
O [[mineral]] [[pirita]] aparece frequentemente em cristais isométricos sob a forma de dodecaedros.
 
== Misticismo{{Ver também}} ==
Pela teoria grega dos [[quatro elementos]], a cada um dos elementos estava associado um sólido: [[terra (elemento)|terra]] com o [[cubo]], [[fogo (elemento)|fogo]] com o [[tetraedro]], [[água (elemento)|água]] com o [[icosaedro]] e [[ar (elemento)|ar]] com o [[octaedro]];<ref name="redgrove.2" /> o dodecaedro ficava de fora, sendo considerado o mais misterioso dos sólidos e o mais difícil de construir.<ref name="redgrove.2" /> De acordo com [[Platão]], [[Deus]] havia usado o dodecaedro para construir o [[universo]].<ref name="redgrove.2" /><ref name="plato.timeu">[[Platão]], ''[[Timeu]]'' [[:s:el:Τίμαιος|<nowiki>[em linha]</nowiki>]]</ref>
 
== {{Ver também}} ==
* [[Dodecaedro truncado]]
* [[Dodecaedro rômbico]]
* [[Dodecaedro pentakis]]
*
* [[Dodecaedro disdiakis]]
* [[Icosidodecaedro snub|Dodecaedro snub]]
* [[Dodecaedro romano]]
 
== {{Ligações externas}} ==
* [http://www.uff.br/cdme/platonicos/platonicos-html/dodecaedro-br.html Modelo 3D Interativo do Dodecaedro]
 
{{referências}}
{{esboço-matemática}}
 
[[Categoria:Sólidos platónicos]]
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