Problema de valor inicial: diferenças entre revisões
Conteúdo apagado Conteúdo adicionado
Linha 31:
== Exemplos ==
O problema de condição inicial
:<math>
\frac{dy}{dx} = y\\
y(0)=2
\end{cases} </math>
'''Resolução:'''
:<math> \frac{dy}{dx} = y </math>
:<math> \frac{dy}{dx} - y = 0 </math>
Pelo [[Método do fator integrante|método do fator integrante]], multiplica-se esta equação por <math> e^{-x} </math>:
:<math> e^{-x} \frac{dy}{dx} - e^{-x} y = e^{-x} 0 </math>
O primeiro lado da equação pode ser simplificado usando a [[Regra da cadeia|regra da cadeia]] <math> \frac{d(f \times g)}{dx} = \frac{df}{dx} \times g + f \times \frac{dg}{dx} </math>
:<math> \frac{d(y e^{-x})}{dx} = 0 </math>
Integrando os dois lados da equação, obtém-se:
:<math> y e^{-x} = c_1</math>
com <math> c_1 </math> constante.
Isolando y, obtém-se então infinitas soluções para a equação diferencial, por causa da arbitrariedade de <math> c_1 </math>:
:<math> y(x) = c_1 e^{x} </math>
Porém, só existe uma única solução que satisfaz as condições iniciais:
:<math> y(0) = c_1 e^{0} </math>
:<math> 2 = c_1 </math>
Portanto, a solução (única) do P.V.I. é:
:<math> y(x) = 2 e^{x} </math>
== Exemplo: Oscilador Harmônico ==
| |||