Losango: diferenças entre revisões

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Propriedades dos losangos
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(Propriedades dos losangos)
 
==Propriedades geométricas ==
A seguir temos algumas propriedades dos losangos e em seguida suas respectivas demonstrações.
*# Ângulos opostos têm medidas iguais.
* As suas diagonais são bissetrizes.
*# As suas diagonais são retas perpendiculares, formando ângulos de 90° em seu centrobissetrizes.
*# As suas diagonais são bissetrizesretas perpendiculares.
*# Todo losango tem um círculo inscrito.
 
=== Demonstrações das propriedades ===
 
==== 1° Propriedade ====
Essa propriedade é intuitiva e ela parte do fato de que um losango é um caso especial de um paralelogramo. Como todo paralelogramo possui ângulos opostos congruentes, então todo losango também possui ângulos opostos congruentes.
 
==== 2° Propriedade ====
[[Ficheiro:Losango e bissetriz.svg|miniaturadaimagem|437x437px]]
Para demonstrar essa propriedade vamos, inicialmente, escrevê-la em notação matemática.
 
<math>ABCD\quad\text{é um losango de diagonais }\quad\overline{AC}\quad\text{e}\quad\overline{BD}\qquad\Longrightarrow\qquad\begin{cases} \overline{AC}\quad\text{é bissetriz de}\quad\hat{A}\quad\text{e}\quad\hat{C} \\\overline{BD}\quad\text{é bissetriz de}\quad\hat{B}\quad\text{e}\quad\hat{D} \end{cases}</math>
 
Por definição temos que todos os lados são congruentes. Assim cada uma das diagonais divide o losango em dois triângulos isósceles.
 
Visto que todo losango é um paralelogramo, temos também que suas diagonais se interceptam em seus pontos médios. Assim, sendo <math>M</math> o ponto de intersecção das diagonais, temos:
 
<math>\overline{AM}\equiv\overline{MC}\quad\text{e}\quad\overline{BM}\equiv\overline{MD}</math>
 
Unindo essas duas implicações temos:
 
<math>\overline{AB}\equiv\overline{BC}\equiv\overline{CD}\equiv\overline{DA},\quad\overline{AM}\equiv\overline{MC}\quad\text{e}\quad\overline{BM}\equiv\overline{MD}\qquad(LLL)\qquad\Longrightarrow\qquad\triangle{AMB}\equiv\triangle{CMB}\equiv\triangle{CMD}\equiv\triangle{AMD}</math>
 
Visto que todos esses triângulos são congruentes, temos:
 
<math>A\hat{B}M\equiv{M\hat{B}C}\equiv{C\hat{D}M}\equiv{M\hat{D}A}\qquad\Longrightarrow\qquad\overline{BD}\quad\text{é bissetriz de}\quad \hat{B}\quad\text{e}\quad\hat{D}</math>
 
<math>M\hat{A}B\equiv{B\hat{C}M}\equiv{M\hat{C}D}\equiv{D\hat{A}M}\qquad\Longrightarrow\qquad\overline{AC}\quad\text{é bissetriz de}\quad \hat{A}\quad\text{e}\quad\hat{C}</math>
 
Logo, as diagonais de um losango são bissetrizes de seus respectivos ângulos internos.
 
==== 3° Propriedade ====
Essa propriedade será demonstrada em duas partes (a 'ida' e a 'volta' do teorema).
 
===== Todo losango tem diagonais perpendiculares =====
[[Ficheiro:Losangodem1.png|ligação=https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Losangodem1.png|miniaturadaimagem|437x437px]]
Vamos demonstrar que se um quadrilátero é um losango, então ele é tem as diagonais perpendiculares.
 
<math>ABCD\quad\text{é losango}\qquad\Longrightarrow\qquad\overline{AC}\perp\overline{BD}</math>
 
Como todo losango é um paralelogramo (por possuir lados opostos congruentes), temos que suas diagonais se interceptam em seus respectivos pontos médios. Ou seja, sendo <math>\overline{AC}</math> e <math>\overline{BD}</math> as diagonais temos:
 
<math>M=\overline{AC}\cap\overline{BD}\qquad\Longrightarrow\qquad\overline{AM}\equiv\overline{MC}\quad\text{e}\quad\overline{BM}\equiv\overline{MD}</math>
 
Agora tomamos os seguintes triângulos: <math>\triangle{AMB}</math>, <math>\triangle{AMD}</math>, <math>\triangle{CMB}</math> e <math>\triangle{CMD}</math>.
 
Pelo caso de congruência <math>LLL</math>, temos as congruências:
 
<math>\triangle{AMB}\equiv\triangle{AMD}\equiv\triangle{CMB}\equiv\triangle{CMD}</math>.
 
Assim verificamos que os ângulos de vértices <math>M</math> são congruentes e suplementares, ou seja: <math>\overline{AC}\perp\overline{BD}</math>
 
===== Todo paralelogramo que possui diagonais congruentes é losango =====
[[Ficheiro:Losangodem2.png|ligação=https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Losangodem2.png|miniaturadaimagem|366x366px]]
Vamos demonstrar se um paralelogramo possui diagonais perpendiculares, então ele é um losango.
 
<math>ABCD\quad\text{é um paralelogramo tal que}\quad\overline{AC}\perp\overline{BD}\qquad\Longrightarrow\qquad{ABCD}\quad\text{é losango}</math>
 
Como <math>ABCD</math> é paralelogramo, temos que seus lados opostos são congruentes, ou seja:
 
<math>\overline{AB}\equiv\overline{CD}</math>e <math>\overline{BC}\equiv\overline{AD}</math>.
 
Também, por ser paralelogramo temos que as diagonais interceptam-se em seus respectivos pontos médios, ou seja:
 
<math>M=\overline{AC}\cap\overline{BD}\qquad\Longrightarrow\qquad\overline{AM}\equiv\overline{MC}\quad\text{e}\quad\overline{BM}\equiv\overline{MD}</math>
 
Como diagonais são perpendiculares, temo que :
[[Ficheiro:Losangodem3.png|ligação=https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Losangodem3.png|miniaturadaimagem|376x376px]]
<math>A\hat{M}B\equiv{B\hat{M}C}\equiv{C\hat{M}D}\equiv{D\hat{M}A}</math>.
 
Dessas relações, através do caso de congruência <math>LAL</math>, temos:
 
<math>\triangle{AMB}\equiv\triangle{AMD}\equiv\triangle{CMB}\equiv\triangle{CMD}\qquad\Longrightarrow\qquad\overline{AB}\equiv\overline{BC}\equiv\overline{CD}\equiv\overline{DA}</math>.
 
Logo, <math>ABCD</math> é um losango.<ref>{{citar livro|titulo=Fundamentos de Matemática Elementar 9: Geometria plana|ultimo=Dolce|primeiro=Osvaldo|editora=Atual|ano=2013|local=São Paulo|paginas=|acessodata=}}</ref>
 
=== Ângulos ===