Axioma: diferenças entre revisões

Na lógica proposicional é comum considerar como axiomas lógicos as fórmulas a seguir, onde <math>\phi,</math>, <math>\psi</math> e <math>\chi</math> podem ser qualquer fórmula de linguagem e os [[Logica proposicional|conectivos]] permitidos são apenas "<math>\neg</math>" para [[negação]] e "<math>\to</math>" para [[implicação]] (antecedente para consequente):

Cada um desses exemplos é um axioma esquemático, uma regra para generalizar um infinito números de axiomas. por exemplo, se <math>A,</math>, <math>B</math> e <math>C</math> são variáveis proposicionais, então <math>A \to (B \to A)</math> e <math>(A \to \lnot B) \to (C \to (A \to \lnot B))</math> são ambos instâncias do primeiro axioma esquemático, e portanto são axiomas. Podemos mostrar que com apenas esses três axiomas esquemáticos e ''modus ponens'', pode-se provar todas as tautologias do cálculo proposicional. E pode mostrar também que sem unir esses axiomas não será suficiente para provar todas as tautologias com ''modus ponens''.

'''Axioma de Igualdade.''' Supondo <math>\mathfrak{L}\,</math> uma linguagem de primeira ordem. para cada variável <math>x\,</math>, a fórmula

Isto quer dizer que, para algum simbolo de variável <math>x\,</math>, a fórmula <math>x = x\,</math> pode ser dita como um axioma. Além disso, neste exemplo, para que não haja imprecisão do que nós entendemos por <math>x = x\,</math>(ou, em outras palavras, "é igual a") deve estar puramente formal e sintaticamente usável pelo simbolo <math>=\,</math> que deve estar bem reforçado, a respeito deles como uma sequência e como uma sequência de símbolos, a lógica matemática faz de fato isto.

'''Axioma esquemático para instanciação universal.''' Dado uma fórmula <math>\phi\,</math> na linguagem de primeira ordem <math>\mathfrak{L}\,</math>, uma variável <math>x\,</math> e um termo <math>t\,</math> que é substituível para <math>x\,</math> em <math>\phi\,</math>, a fórmula

onde o simbolo <math>\phi^x_t</math> significa a fórmula <math>\phi\,</math> com o termo <math>t\,</math> substituído por <math>x\,.</math>. Em termos formais, este exemplo nos permite dizer que para este estado, se nós sabermos que uma certa propriedade <math>P\,</math> possui para todo <math>x\,</math> e que <math>t\,</math> estar para um objeto particular na nossa estrutura, então nós estariamos capazes para afirmar <math>P(t)\,.</math>. Mais uma vez, nós podemos afirmar que a fórmula <math>\forall x \phi \to \phi^x_t</math> é válida, isto é, nós podemos ser capazes de ter uma prova deste fato, ou melhor falando, uma meta prova. atualmente, estes exemplos são meta teoremas da nossa teoria da lógica matemática desde que estejamos relacionados com o mais conceitos de auto prova. A partir disto, nós podemos ter a generalização do existencial:

'''Axioma esquemático para generalização do existencial.''' Dada um fórmula <math>\phi\,</math> na linguagem de primeira ordem <math>\mathfrak{L}\,</math>, uma variável <math>x\,</math> e um termo <math>t\,</math> que é substituível para <math>x\,</math> em <math>\phi\,</math>, a fórmula

Axiomas não-lógicos são fórmulas que usam a função de hipóteses de teorias especificadas. Em razão sobre duas diferentes estruturas, por exemplo os números naturais e os integrais, podem envolver o mesmo axioma lógico; os axiomas não-lógicos visam capturar o que é especial sobre uma estrutura particular e(ou conjunto de estruturas, como os grupos). Desse modo os axiomas não-lógicos, diferentemente dos axiomas lógicos, não são tautologias. Outro nome para um axioma não-lógico é postulado.

Nós temos uma linguagem <math>\mathfrak{L}_{NT} = \{0, S\}\,</math> onde <math>0\,</math> é uma constante e <math>S\,</math> é uma função unitária e é seguida dos axiomas:

para alguma formula <math>\mathfrak{L}_{NT}\,</math> <math>\phi\,</math> com uma variável livre.

A estrutura padrão é <math>\mathfrak{N} = \langle\N, 0, S\rangle\,</math> onde <math>\N\,</math> é o conjunto dos números naturais, <math>S\,</math> é a função sucessora e <math>0\,</math> é interpretado como o numero 0.

Um '''sistema dedutivo''' consiste, de um grupo <math>\Lambda\,</math> de axiomas lógicos, um conjunto <math>\Sigma\,</math> de axiomas não-lógicos, e um conjunto <math>\{(\Gamma, \phi)\}\,</math> de regras de inferência. Uma propriedade desejável de um sistema dedutivo é que ele seja completo. Um sistema é dito ser completo se, para todas as fórmulas <math>\phi,</math>

:Se <math>\Sigma \models \phi</math> então <math>\Sigma \vdash \phi</math>,

Note que "completude" tem um diferente significado aqui, então no contexto do primeiro teorema da incompletude de Godel, o qual estados não recursivos, conjuntos consistentes de axiomas não-lógicos <math>\Sigma\,</math> da teoria da aritmética é completa, No sentido que sempre existe um estado aritmético <math>\phi\,</math> tal que nenhum <math>\phi\,</math> nem <math>\lnot\phi\,</math> pode ser provado de um dado conjunto de axiomas.

== VejaVer também ==