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Seguindo um círculo orientável tal como ''a'' cerca de duas vezes dá simplesmente '' a '' + '' a '' = 2''a ''. Mas círculos não-orientáveis se comportam de forma diferente. No plano projetivo, seguindo o círculo não-reduzível '' b '' contornando duas vezes notavelmente cria um círculo trivial que "pode" ser reduzido a um ponto; isto é, '' b '' + '' b '' = 0. Porque '' b '' deve ser seguido em torno de duas vezes para atingir um círculo zero, neste caso dizemos que a superfície tem um [[coeficiente de torção (topologia)| coeficiente de torção]] 2. O mesmo se aplica a '' b '' no exemplo da garrafa Klein. Para ver isso, você pode usar [[Teorema da curva de Jordan]] novamente.
 
Um quadrado é um [[espaço topológico contrátil]], o que implica que tem homologia trivial. Consequentemente, cortes adicionais o deixa desconexo. O quadrado não é a única forma plana que pode ter os lados colados para gerar uma superfície. Colar os lados opostos de um octógono, por exemplo, produz uma superfície com dois furos. De fato, todas as superfícies fechadas podem ser produzidas colando os lados de algum polígono e todos os polígonos de lados pares (2''n '' - lados) podem ser colados para formar superfícies diferentes. Por outro lado, uma superfície fechada com '' n '' não-nulas classe pode ser cortada em um 2''n ''-lados. Também são possíveis variações, por exemplo, um hexágono também pode ser colado para formar um toro. <Refref name = "weeks" />
 
A primeira teoria reconhecível de homologia foi publicada por [[Henri Poincaré]] em seu paper seminal "[[Analysis Situs (paper)|Analysis situs]]", "J. Ecole polytech. '' (2) '''1'''. 1-121 (1895). O artigo apresentou classes de homologia e relações. As possíveis configurações de círculos orientáveis são classificadas pelo [[número de Betti]] da variedade (os números de Betti são um refinamento da característica de Euler). A classificação dos círculos não-orientáveis requer informações adicionais sobre o [[coeficiente de torção (topologia)|coeficiente de torção]]. <Refref name = "Richeson254" />
 
A classificação completa de 1- e 2-variedade é dada pela seguinte tabela: