Quaternião: diferenças entre revisões
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{{mais
{{Conjuntos de números}}
Os {{PEPB|quaterniões|quatérnios}} são uma extensão <math>\mathbb{H}</math> do conjunto dos [[Número complexo|números complexos]] <math>\mathbb{C}</math>. Mais precisamente, o conjunto <math>\mathbb{H}</math> é uma álgebra associativa formada pelos números da forma <math>u + xi + yj + zk\,\!</math>, onde <math>u, x, y, z \in \mathbb{R}</math> e <math>i\,\!</math>, <math>j\,\!</math> e <math>k\,\!</math> são [[unidade imaginária|unidades imaginárias]] (<math>i^2 = j^2 = k^2 = -1\,\!</math>). Além disso, temos que <math>ij = k, jk = i, ki = j, ji = -k, kj = -i, ik = -j\,\!</math>, de forma que a multiplicação não é comutativa. A soma e o produto entre quaterniões podem ser calculadas usando-se as demais propriedades da álgebra, tais como a regra distributiva e associativa.<ref>http://www.emis.ams.org/classics/Hamilton/OnQuat.pdf</ref><ref>http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm12/quaternioes.htm</ref>
Linha 27:
== Operações elementares ==
=== Adição e subtração ===
Na soma ou subtração de quaterniões, somamos ou subtraímos os coeficientes das bases correspondentes, conforme o caso. Assim, dados os números:
:<math>q = u + xi + yj + zk\,\!</math>
e
:<math>p = a + bi + cj + dk\,\!</math>
temos:
*<math>q + p =\,\!</math> <math>(u + a) + (x + b)i + (y + c)j + (z + d)k\,\,</math>
*<math>q - p =\,\!</math> <math>(u - a) + (x - b)i + (y - c)j + (z - d)k\,\,</math>
=== Multiplicação ===
Linha 50:
Sejam <math>q = u + xi + yj + zk\,\!</math> e <math>p = a + bi + cj + dk\,\!</math> números quaterniônicos, então o produto exterior <math>qp\,\!</math> (usualmente, <math>qp \ne pq \,\!</math>) é definido como:
<math> qp =\,\!</math> <math>(u + xi + yj + zk)\,\!</math> <math>(a + bi + cj + dk)\,\!</math>
<math>= ua + ubi + ucj + udk
Linha 61:
+ zak + zbj - zci - zd\,\!</math>
<math>= (ua - xb - yc - zd) + (ub + xa + yd - zc)i + (uc - xd + ya + zb)j + (ud + xc - yb + za)k\,\!</math>
E importante notar que esse produto não é comutativo, isto é, existem ''q'' e ''p'' tais que <math>qp \ne pq\,\!</math>.
Linha 70:
== Representação através de matrizes ==
Há pelo menos duas formas de se representar quaterniões como [[matriz (matemática)|matrizes]], de tal forma que a adição e a multiplicação de quaterniões correspondem à adição da matriz e à multiplicação de matrizes (isto é, [[homomorfismo]] matriz-quaternião).
Uma dessas formas é usar matrizes complexas 2×2 , e a outra é usar matrizes reais 4×4 . Na primeira forma, o quaternião ''a + b i + c j + d k'' é representado como
: <math>\begin{pmatrix} a+bi & c+di \\ -c+di & a-bi \end{pmatrix}</math>
Essa representação tem diversas propriedades agradáveis.
* Os números complexos (''c'' = ''d'' = 0) correspondem às matrizes diagonais.
* O quadrado do valor absoluto de um quaternião é a determinante da matriz correspondente.
* O conjugado de um quaternião corresponde à matriz transposta conjugada da matriz.
*Restringindo-se aos quaterniões unitários, essa representação fornece o [[isomorfismo]] entre ''S''<sup>3</sup> e SU (2). O último grupo é importante em [[mecânica quântica]] no que se diz respeito à rotação. (Ver também [[matrizes de Pauli]])
.
Na segunda forma, o quaternião ''a + b i + c j + d k'' é representado como
: <math>\begin{pmatrix}
Linha 90:
\;\; b & \;\; a & -d & c \\
\;\; c & \;\; d & \;\; a & -b \\
\;\; d & \;\; -c & \;\; b & \;\; a
\end{pmatrix}</math>
Linha 100:
:<math> q = u + j v \,</math>
é um quaternião.
Se ''u = a + i b'' e ''v = c + i d'', então
:<math> q = a + i b + j c + j i d \,</math>.
Além disso, seja
:<math> j i = - i j \,</math>,
Linha 114:
:<math> q = a + i b + j c + i j (-d) \,</math>,
e também seja o produto dos quaterniões associativo.
Com estas regras, nós podemos agora derivar a tabela da multiplicação para '''i''', '''j''' e '''ij''', os componentes imaginários de um quaternião:
:<math> i i = -1, \,</math>
Linha 128:
:<math> (i j) (i j) = -(i j) (j i) = -i (j j) i = i i = -1. \,</math>
Note que a díade '''i''' '''j''' se comporta exatamente como o '''k''' na definição.
Para todo o número complexo ''v = c + i d'', seu produto com ''j'' têm a seguinte propriedade:
:<math> j v = v^* j \,</math>
Linha 138:
:<math> j v = j c + j i d = j c - (i j) d = (c - i d) j = v^* j \,</math>.
Seja ''p'' um quaternião com componentes complexos ''w'' e ''z'':
:<math> p = w + j z \,</math>.
Então o produto ''qp'' é
:<math> q p = (u + j v) (w + j z) = u w + u j z + j v w + j v j z \,</math>
Visto que o produto de números complexos é comutativo, temos
:<math> (u + j v) (w + j z) = (u w - z v^*) + j (u^* z + w v) \,</math>
que é precisamente como a multiplicação de quaterniões é definida pela construção de Cayley-Dickson.
Note que se ''u = a + i b'', ''v = c + i d'', e ''p = a + i b + j c + kd'' então a construção de ''p'' de ''u'' e ''v'' é de preferência
:<math> p = u + v j = u + j v^* \,</math>.
== Aplicações ==
=== Rotações de vetores em 3D ===
Linha 164:
: <math>R(v) = q v q^{-1}\,</math>
em que ''q'' é o quaternião (de módulo 1)
: <math>q = \cos \frac {\alpha}{2} + \sin \frac {\alpha}{2} \ \frac {v} {\|v\|}\,</math>
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