Teorema de Noether: diferenças entre revisões

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acrescentei uma descrição menos matemática, mas mais física, da ideia subjacente ao teorema.
m traduzindo nome/parâmetro nas citações, outros ajustes usando script
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{{Reciclagem|data=junho de 2011}}
 
O '''teorema de Noether''' é um resultado da teoria de [[sistemas dinâmicos]]. A primeira versão do teorema foi demonstrada em 1918<ref>{{cite journalcitar periódico| authorautor = Noether E | date data= 1918 | title título= Invariante Variationsprobleme | journal periódico= Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. Zu Göttingen, Math-phys. Klasse | volume = 1918 | pages páginas= 235–257 | url = http://arxiv.org/abs/physics/0503066v1}}</ref> por [[Emmy Noether]].
 
Ela provou que toda grandeza física [[Lei de conservação|conservativa]] corresponde a um grupo contínuo de simetrias das equações. Simetria aqui é entendida como uma transformação matemática que deixa as equações inalteradas em sua essência, sendo que todas as simetrias possíveis formam um [[Grupo (matemática)|grupo]] (no sentido matemático do termo). Um grupo contínuo é um grupo de simetrias definidas por um número que pertence ao [[Número real|conjunto dos Reais]].
 
O enunciado do teorema do ponto de vista matemático diz que para cada [[Grupo (matemática)|grupo]] uniparamétrico de [[difeomorfismos]] de um [[sistema dinâmico]] Lagrangeano existe uma constante do movimento .<ref>V. I. Arnold, ''Mathematical Methods of Classical Mechanics'', Springer (1989); I. M. Gelfand, V.S. Fomin, ''Calculus of Variations'', Dover (2000).</ref>. Em mais detalhes, em um sistema de [[equações diferenciais ordinárias]] nas funções no tempo <math>t</math>, <math>x(t), y(t), \ldots</math>, dada uma solução das equações <math>x_1(t), y_1(t), \ldots</math>, e uma operação nesta solução que dependa de um parâmetro real e que seja contínua <math>x_1(t) \rightarrow x_2(t), y_1(t) \rightarrow y_2(t), \ldots</math> de tal forma que <math>x_2(t), y_2(t), \ldots</math> é também solução do mesmo sistema, então existe uma constante independente do tempo associada a esta transformação.
 
Por exemplo, se a equação em questão for a [[segunda lei de Newton]] e a transformação for a rotação dos eixos espaciais <math>x</math>, <math>y</math> ou <math>z</math> na direção do eixo de simetria <math>z</math> por um ângulo (real) <math>\theta</math>, que formam um contínuo, então a grandeza física conservativa associada é o momento angular (na direção do eixo <math>z</math>). Outros dois exemplos importantes são: a família de translações numa determinada direção do espaço leva a conservação da [[quantidade de movimento]], e a simetria temporal implica a [[conservação da energia]].
Linha 11:
Informalmente, podemos apresentar o teorema de Noether dizendo que: "Para cada família de simetrias corresponde uma lei de conservação".
 
A versão [[Mecânica quântica|quântica]] do teorema está associada a diferentes resultados, como o chamado [[teorema de Wigner]] e o [[teorema de Stone]].<ref>M. Reed, B. Simon, ''Methods of Modern Mathematical Physics'', Academic Press (1981); A. Jaffe, J. Glimm, ''Quantum Physics: A functional integral point of view'', Springer (1984); S. Weinberg, ''The Quantum Theory of Fields'', Cambridge University Press.</ref>.
 
<!-- traduzier
Linha 18:
=== Wirkung ===
 
Der im Noether-Theorem formulierte Zusammenhang von Symmetrien und Erhaltungsgrößen gilt für solche physikalischen Systeme, deren Bewegungs- oder Feldgleichungen aus einem [[Variationsrechnung|Variationsprinzip]] abgeleitet werden können. Die [[Differentialgleichung]]en, denen solche Systeme genügen, besagen, dass die Variation eines ''Wirkungsfunktionals'' verschwindet.
 
Bei der Bewegung von Massepunkten ist dieses Wirkungsfunktional durch eine [[Lagrangefunktion]] der Zeit <math>t</math>, des Ortes <math>x</math> und der Geschwindigkeit <math>v</math>
 
: <math>\mathcal{L}(t,x,v)</math>
 
charakterisiert und ordnet jeder differenzierbaren Bahnkurve <math>\Gamma: t\mapsto x(t)</math> das Zeitintegral
 
:<math>
W[\Gamma]=\int_{t_1}^{t_2}\!\mathcal{L} \left( t,x(t),
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \right)\,\mathrm{d}t</math>
 
zu. Beispielsweise ist in Newtonscher Physik die Lagrangefunktion eines Teilchens im Potential <math>V</math> die Differenz von kinetischer und potentieller Energie
 
: <math>\mathcal{L}(t,x,v)=\frac{1}{2}\,m\,v^2- V(x)</math> .
Linha 36:
Die physikalisch tatsächlich durchlaufene Bahn, die zur Anfangszeit <math>t_1</math> durch den Startpunkt <math>\underline{x}=x(t_1)</math> und zur Endzeit <math>t_2</math> durch das Ziel <math>\overline{x}=x(t_2)</math> geht, macht den Wert der Wirkung im Vergleich mit allen anderen (differenzierbaren) Bahnen, die ebenfalls anfänglich durch <math>\underline{x}</math> und schließlich durch <math>\overline{x}</math> gehen, stationär. Die physikalisch tatsächlich durchlaufene Bahn erfüllt daher die Bewegungsgleichung (Herleitung siehe [[Lagrange-Formalismus#Lagrangesche Methode zweiter Art|Lagrange-Formalismus]])
 
:<math>\frac{\partial}{\partial x}\mathcal{L} -
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\frac{\partial}{\partial v}\mathcal{L}
= 0</math> .
Linha 42:
Bei Bewegung eines Teilchens im Potential ist dies die Newtonsche Bewegungsgleichung
 
:<math> 0 = -\frac{\partial}{\partial x}V - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}
t}m v \ ,\quad 0 = F - m \ddot{x}\ .</math>
 
Linha 53:
Wir beschränken uns hier auf Symmetrien in der [[klassische Mechanik|klassischen Mechanik]]. Für den feldtheoretischen Beweis verweisen wir auf die englische Version des Artikels.
 
Sei <math> \Phi_s </math> eine einparametrige, differenzierbare Gruppe von Transformationen, die (genügend differenzierbare) Kurven <math>\Gamma: t \mapsto x(t)</math> auf Kurven <math>\Gamma_s:t\mapsto x(s,t,\Gamma) </math> abbildet und gehöre der Parameterwert <math>s=0</math> zur identischen Abbildung, <math>\Phi_0 \Gamma: t \mapsto x(t)</math>.
 
Beispielsweise bildet <math>\Phi_s \Gamma = \Gamma_s </math> mit <math>\Gamma_s:t\mapsto x(t+s)</math> jede Kurve <math>\Gamma</math> auf die um <math>s</math> früher durchlaufene Kurve ab. Die Transformation <math>\Phi_s \Gamma = \Gamma_s </math> mit <math>\Gamma_s:t\mapsto x(t) + s\,c</math> verschiebt jede Kurve um eine Konstante <math>s\,c</math>.
Linha 68:
Beispielsweise sind die Verschiebungen von Zeit und Ort lokal und gehören zur infinitesimalen Transformation <math> \delta x = v </math> beziehungsweise zu <math> \delta x = c\,</math>.
 
Ist nun <math>\mathcal{L}(t,x,v)</math> die Lagrangefunktion des mechanischen Systems. Dann heißen die lokalen Transformationen <math>\Phi_s</math> Symmetrien der Wirkung, wenn sich für alle Kurven <math>\Gamma</math> die Lagrangefunktion bei infinitesimalen Transformationen nur um die Zeitableitung einer Funktion <math>K(t,x)</math>, ausgewertet auf <math>\Gamma</math>, ändert,
 
:<math> \frac{\partial}{\partial s}_{|_{s=0}}
\mathcal{L} \left(t, x(s,t), \frac{\partial x}{\partial
t}(s,t) \right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}
K \left(t,x(t) \right)</math> .
 
Denn dann ändert sich die Wirkung nur um Randterme
 
:<math>
Linha 81:
\int_{t_1}^{t_2}\!\mathrm{d}t\,
\frac{\partial}{\partial s}_{|_{s=0}}
\mathcal{L} \left(t, x(s,t), \frac{\partial x}{\partial
t}(s,t) \right)</math>
 
Linha 93:
Der Zusammenhang dieser Definition der Symmetrie der Wirkung mit der Erhaltungsgröße wird klar, wenn man die partiellen Ableitungen der Lagrangefunktion nach <math>s</math> ausführt, und dabei als Kurzschrift die Definition der infinitesimalen Transformation verwendet
 
:<math> \frac{\partial}{\partial s}_{|_{s=0}} \mathcal{L}(t, x(s,t),
\frac{\partial x}{\partial t}(s,t)) =
\frac{\partial x(s,t)}{\partial s}_{|_{s=0}}
Linha 105:
\frac{\partial}{\partial v}\mathcal{L}(t, x, v) </math>
 
Ergänzt man den ersten Term zu einem Vielfachen der Bewegungsgleichung und zieht man die Ergänzung beim zweiten Term ab, entsteht
 
:<math> \frac{\partial}{\partial s}_{|_{s=0}} \mathcal{L} \left( t, x(s,t),
\frac{\partial x}{\partial t}(s,t) \right)
=\delta x \left(
\frac{\partial}{\partial x}\mathcal{L}-
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial}{\partial
v}\mathcal{L} \right) + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}
\left( \delta x \frac{\partial}{\partial v}\mathcal{L}\right) </math>
Linha 119:
:<math>
\delta x \left(
\frac{\partial}{\partial x}\mathcal{L}-
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial}{\partial
v}\mathcal{L} \right) + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}
\left( \delta x \frac{\partial}{\partial v}\mathcal{L} - K \right) = 0
</math> .
 
Da aber das <math> \delta x</math>-fache der Bewegungsgleichungen auf den physikalisch durchlaufenen Bahnen verschwindet, besagt diese Gleichung, dass die Funktion
 
:<math>Q= \delta x \frac{\partial}{\partial v}\mathcal{L} - K\ , </math>
 
die zur Symmetrie gehörige Noetherladung, sich auf den physikalisch durchlaufenen Bahnen nicht ändert,
 
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} Q \left(t,x_{\mathrm{phys}}(t),