Função exponencial: diferenças entre revisões

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:<math>\lim_{x\to-\infty}x^ne^x=0.</math>
* A função <math>y = e^x</math> é igual a sua derivada, i.e.:
:<math>\frac{\text{d}}{dx\text{d}x}e^x = e^x</math>.
 
Usando o logaritmo natural, pode-se definir funções exponenciais mais genéricas, como abaixo:
 
De fato, como <math>a^x = e^{(\ln a)x}</math> temos da [[regra da cadeia]] que:
:<math>\frac{\text{d}}{dx\text{d}x} a^x = \frac{\text{d}}{dx\text{d}x}e^{(\ln a) x} = (\ln a)e^{(\ln a) x} = a^x \ln a</math>.
 
De forma análoga, obtermos a derivada segunda:
:<math>\frac{\text{d}^2}{dx\text{d}x^2} a^x = \frac{\text{d}}{dx\text{d}x} a^x \ln a=a^x (\ln a)^2</math>
 
Como <math>(\ln(a))^2</math> é uma constante positiva, observamos que a taxa de variação da função exponencial é crescente em relação a ''x'', isto é a função exponencial é uma [[função convexa]].
 
A [[integral indefinida]] da função exponencial é dada por:<ref name=":2">{{citar livro|título = Cálculo - vol. 1|sobrenome = Stewart|nome = James|edição = 7|local = |editora = Cengage|ano = 2013|página = |isbn = 978-8522112586}}</ref><ref name=":3">{{citar livro|título = Cálculo - Volume I|sobrenome = Anton|nome = H. et al.|edição = 10|local = |editora = Bookman|ano = 2014|página = |isbn = 9788582602256}}</ref>
:<math>\int a^x dx\text{d}x = \int e^{\ln a x} dx\text{d}x = \frac1{\ln a} e^{\ln a x} + C = \frac1{\ln a} a^x +C</math>.
 
{{Referências}}
Utilizador anónimo