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* a função <math>T</math> de <math>K^2</math> em <math>K</math> definida por <math>T(x,y)=x+y;</math>
* a função <math>T</math> de <math>K^2</math> em <math>K^2</math> definida por <math>T(x,y)=(3x+y,2x-2y);</math>
* se <math>D</math> for o espaço das [[Derivada|funções deriváveis]] de '''<math>\mathbb{R'''}</math> em '''<math>\mathbb{R}</math>''' e se <math>F</math> for o espaço de todas as funções de '''<math>\mathbb{R}</math>''' em '''<math>\mathbb{R}</math>''', então a derivação (isto é, a função de <math>D</math> em <math>C</math> que envia cada função na sua derivada) é linear.
Em contrapartida, se <math>a</math> ∈ <math>K</math> \ <math>in K-\{0\},</math> então a função <math>T</math> de <math>K</math> em <math>K</math> definida por <math>T(x)=x+a</math> não é uma transformação linear.
Se <math>T</math> for uma função de um espaço vetorial <math>V</math> num espaço vetorial <math>W,</math> então afirmar que <math>T</math> é linear equivale a afirmar que <math>T</math> preserva [[combinação linear|combinações lineares]] de pares de vetores, isto é, para quaisquer dois vetores <math>v_1,v_2</math> ∈ <math>V</math> e dois escalares <math>\alpha_1,\alpha_2</math> ∈ <math>K:</math>
Alguns casos especiais de transformações lineares do espaço '''R'''<sup>2</sup> são bastante elucidativas:
* [[Rotação (matemática)|rotação]] de 90 graus no sentido anti-horário: <math display="block">\mathbf{A}=\begin{bmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{bmatrix}</math>
* [[Rotação (matemática)|rotação]] por ''θ''<math>\theta</math> graus no sentido anti-horário: <math display="block">\mathbf{A}=\begin{bmatrix}\cos(\theta) & -\mathrm{sen}\,(\theta)\\ \mathrm{sen}\,(\theta) & \cos(\theta)\end{bmatrix}</math>
* [[Reflexão (matemática)|reflexão]] em torno do eixo ''x'': <math display="block">\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{bmatrix}</math>
* [[Reflexão (matemática)|reflexão]] em torno do eixo ''y'': <math display="block">\mathbf{A}=\begin{bmatrix}-1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}</math>
Como a [[composição de funções|composição]] de operadores lineares é um operador linear, este espaço tem uma estrutura de álgebra, em que a composição de funções faz o papel do produto de operadores.
Assim, dado um operador linear ''<math>T''</math>, podem-se definir as potências ''T<supmath>T^2</sup>'', ''T<sup>^3</supmath>'', ou, de modo geral, ''T<supmath>T^n</sup>'' para,\forall qualquer ''n'' inteiro positivo\in\mathbb{Z^+}</math>. Portanto, se ''<math>p(x)''</math> é um [[polinómio|polinômio]] com coeficientes no corpo de escalares, faz sentido definir ''<math>p(T)'':
</math>:
<math display="block">p(x) = a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n \implies p(T) = a_0 I_V + a_1 T + \ldots + a_n T^n,</math>
em que ''I<submath>VI_V</submath>'' é o operador identidade em ''<math>V''</math>.
Verificam-se facilmente as seguintes propriedades:
* Se ''<math>p(x)</math>'' e ''<math>q(x)''</math> são polinómiospolinômios, então <math>p(T) + q(T) = (p + q)(T)</math> e <math>p(T) q(T) = (pq)(T).</math>
Se o espaço ''<math>V''</math> tem dimensão finita ''<math>n''</math>, então ''<math>L(V,V)''</math> também tem dimensão finita ''n<supmath>n^2</supmath>''. Portanto, o conjunto de ''n<supmath>n^2+1</supmath>+1'' operadores <math>\{I_V, T, \ldots, T^{n^2} \}</math> é [[linearmente dependente]]. Logo, existem escalares <math>a_0, a_1, \ldots a_{n^2},</math> não todos nulos, tais que <math>a_0 I_V + a_1 T + \ldots + a_{n^2} T^{n^2} = 0.</math> Ou seja, existe um polinómiopolinômio não-nulo ''<math>p(x)</math>'' tal que ''<math>p(T) = 0</math>''.
Se existe um polinómiopolinômio não-nulo ''<math>f(x)</math>'' tal que ''<math>f(T) = 0</math>'', então o conjunto não-vazio dos polinómiospolinômio ''<math>q(x)</math>'' tais que ''<math>q(T) = 0</math>'' forma um ideal no anel de todos polinómiospolinômios com coeficientes no corpo. Portanto, existe um único polinómiopolinômio mónicomônico ''<math>p(x)</math>'' tal que ''<math>p(T) = 0</math>''. Este polinómiopolinômio é chamado de [[polinómio mínimo|polinômio mínimo]] de ''<math>T''</math>.
== Espaço dual ==
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