Integral de linha: diferenças entre revisões

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onde '''r''': [a, b] → ''C'' é uma parametrização bijectiva arbitrária da curva C, de tal modo que '''r'''(''a'') e '''r'''(''b)'' tem os extremos de ''C'' a < b.
 
A função ''f'' é chamado o integrando, a curva ''C'' é o domínio da integração e o símbolo ''ds'' pode ser intuitivamente interpretado como um elementar comprimento de arco. Integrais de linha de campos escalares de uma curva ''C'' não dependem da parametrização escolhida de '''r'''
 
Geometricamente, quando o campo escalar ''F'' é definido ao longo de um plano, o gráfico é uma superfície ''z'' = ''f''(''x'',''y'') no espaço, e a integral de linha é área delimitada pela curva ''C.''
=== Independência do Caminho ===
 
Seja '''F''' um campo vetorial contínuo com domínio D, dizemos que a integral de linha ∫ 𝐅. 𝑑𝐫 𝐶 é independente do caminho se ∫ 𝐅. 𝑑𝐫 𝐶1 = ∫ 𝐅. 𝑑𝐫 𝐶2 para quais quer dois caminhos C1 e C2 em D que tenham os mesmos pontos iniciais e finais. ''Com isso podemos dizer que as integrais de linha de campos conservativos são independentes do caminho.''<ref>{{Citar tese |nome=Poliana Ferreira do |sobrenome=Prado |título=Integrais de Linha - Matemática Aplicada|url=http://www.uesb.br/mat/download/Trabamonografia/2013/Poliana.pdf |local=Vitória da Conquista |universidade=UNIVERSIDADE ESTADUAL DO SUDOESTE DA BAHIA (UESB) |accessodataacessodata=26 de Junho de 2016 |ano=2013}}</ref>
 
Se um vetor de campo '''F''' é o gradiente de um campo escalar ''L,'' isto é,
<math>= \! \int_a^b \left[u\big(\gamma(t)\big) X'(t) \! - \! v\big(\gamma(t)\big) Y'(t)\right] dt \! + \! i \! \int_a^b\left[u\big(\gamma(t)\big) Y'(t) \! + \! v\big(\gamma(t)\big) X'(t)\right] dt</math>
<br>
Quando f é analítica, a integral de linha tem propriedades interessantes e incomuns, como o Teorema de Cauchy local, [[Fórmula integral de Cauchy]] e [[teorema de Liouville]], cujo o resultado permite uma prova formal da importância do [[Teorema fundamental da álgebra|teorema fundamental da álgebra.]].
 
== Ver Também ==
 
* [[Comprimento do arco]];
* [[Teorema da divergência|Teorema da divergência;]];
* [[Teorema de Green]];
* [[Teorema de Stokes|Teorema de Stokes;]];
* [[Integral de superfície|Integral de superfície;]];
* [[Integral de volume|Integral de volume;]];
 
{{referências}}
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