Diferenças entre edições de "Integral de linha"

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== Cálculo vetorial ==
 
Em termos qualitativos, uma integral de linha no cálculo de vetor pode ser pensada como uma medida do efeito total de um dado campo ao longo de uma determinada curva. Mais especificamente, a integral de linha ao longo de um campo escalar pode ser interpretada como a área sob o campo apontada para fora por uma curva particular. Isto pode ser visualizado pela superfície criada por <math>z = f(x,y)</math> e uma curva ''C'' no plano ''x,y''.
 
=== Integral de Linha de um campo escalar ===
==== Definição ====
 
Se ''C'' for uma curva lisa no espaço bi ou tridimensional, então, a integral de linha de ''f'' em relação a '''s''<nowiki/>' ao longo de ''C'' é:[[Imagem:Line integral of scalar field.gif|thumb|200px|Integral de linha de um [[campo escalar]], ''f''. A área sob a curva ''C'', traçada sobre a superfície definida por ''z'' = ''f''(''x'',''y''), é o valor da integral..]]
 
<math>\int\limits_C f\, ds = \int_a^b f\left(\mathbf{r}(t)\right)\,\,|\mathbf{r}'(t)| \, dt.</math>.
 
onde '''r''': [a, b] → ''C'' é uma parametrização bijectiva arbitrária da curva ''C'', de tal modo que '''r'''(''a'') e '''r'''(''b)'' temcorrespondem osaos extremos de ''C'', com ''a'' < ''b''.
 
A função ''f'' é chamado o integrando, a curva ''C'' é o domínio da integração e o símbolo ''ds'' pode ser intuitivamente interpretado como um elementar comprimento de arco. Integrais de linha de campos escalares de uma curva ''C'' não dependem da parametrização escolhida de '''r'''
 
Para um campo vetorial '''F''' : ''L'' ⊆ '''R''' <sup>''n''</sup> → '''R''' <sup>''n''</sup> , a integral de linha ao longo de uma curva lisa orientada , na direção de '''R''' , é definida como
[[Ficheiro:Line integral of vector field.gif|miniaturadaimagem|450x450px|A trajetória de uma partícula (em vermelho) ao longo de uma curva dentro de um campo vetorial. A partir de um, a partícula traça o caminho ''C'' ao longo do campo de vetores '''F'''. O produto escalar (linha verde) do seu vetor develocidade deslocamento'''r'''<nowiki/>' (seta vermelha) e o vetor de campo (seta azul) define uma área sob a curva, o que é equivalente a integral de linha do caminho.]]
<math>\int\limits_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.</math>
 
=== Independência do Caminho ===
 
Seja '''F''' um campo vetorial contínuo com domínio D, dizemos que a integral de linha <math>\int\limits_{C} 𝐅.\mathbf{F} 𝑑𝐫\cdot d\mathbf{r}</math> 𝐶 é independente do caminho se <math>\int\limits_{C_1} 𝐅.\mathbf{F} 𝑑𝐫\cdot 𝐶1d\mathbf{r} = \int\limits_{C_2} 𝐅.\mathbf{F} 𝑑𝐫\cdot 𝐶2d\mathbf{r}</math> para quais quer dois caminhos C1''C<sub>1</sub>'' e C2''C<sub>2</sub>'' em D que tenham os mesmos pontos iniciais e finais. ''Com isso podemos dizer que as integrais de linha de campos conservativos são independentes do caminho.''<ref>{{Citar tese |nome=Poliana Ferreira do |sobrenome=Prado |título=Integrais de Linha - Matemática Aplicada|url=http://www.uesb.br/mat/download/Trabamonografia/2013/Poliana.pdf |local=Vitória da Conquista |universidade=UNIVERSIDADE ESTADUAL DO SUDOESTE DA BAHIA (UESB) |acessodata=26 de Junho de 2016 |ano=2013}}</ref>
 
Se um vetor de campo '''F''' é o gradiente de um campo escalar ''LG,'' isto é,
 
<math>\nabla G = \mathbf{F},</math>
 
em seguida, a [[Derivada|derivado]] da composição de funções de ''LG'' e '''Rr''' ( ''t'' ) é
 
<math>\frac{dG(\mathbf{r}(t))}{dt} = \nabla G(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) = \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)</math>,
 
que passa a ser o integrando para a integral de linha da '''F''' em '''r'''(''t''). Daqui resulta que, dado um caminho de ''C'' , em seguida,<math>\int_Cint\limits_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt = \int_a^b \frac{dG(\mathbf{r}(t))}{dt}\,dt = G(\mathbf{r}(b)) - G(\mathbf{r}(a)).</math>
 
Em outras palavras, a integral de '''F''' sobre ''C'' depende unicamente dos valores de ''G'' nos pontos de '''Rr''' (''b'') e '''Rr''' (a) e é, assim, independente do caminho entre eles.
 
=== Aplicações ===
A integral de linha tem muitas aplicações na física. Por exemplo, o trabalho feito em uma partícula viajando em uma curva ''C,'' dentro de um campo de força representada como um campo vetorial '''F''' é a integral de linha da '''F''' em ''C''.
 
<math>W = \int\limits_C \overrightarrowmathbf{F} \centerdotcdot d\overrightarrowmathbf{r} </math>
 
Na mecânica dos Fluídos o campo vetorial usando é o de velocidades '''vV''' e o conceito de trabalho é substituído por de circulação do campo de velocidades ao longo da curva ''C''.<ref name="apostila">{{Citar livro |nome=Irene |sobrenome=Strauch |título=Análise Vetorial. |local= Porto Alegre – RS |editora= UFRGS|ano=2008}}</ref> Matematicamente, esta grandeza é definida pela integral de linha fechada ''C'':
 
<math>\operatorname{circ} \overrightarrowmathbf{V} = \oint\limits_C \overrightarrowmathbf{V}\centerdot d\overrightarrowmathbf{r} </math>
 
No eletromagnetismo as integrais de linha aparecem na Lei de Faraday, onde o campo vetorial é o campo elétrico '''E''' e a na Lei de Ampère, onde o campo vetorial é o campo de indução magnético '''B.'''. As expressões de cada uma das leis é, respectivamente:
 
<math>\epsilon= \oint\limits_C \overrightarrowmathbf{E}\centerdot d\overrightarrowmathbf{r} </math>, onde ε é a magnitude da força eletromotriz.;
 
<math>\mu. i = \oint\limits_C \overrightarrowmathbf{B}\centerdotcdot d\overrightarrowmathbf{r} </math>, onde μ é uma constante e i é a magnitude da corrente elétrica.
 
=== Integração Complexa ===
Dada dada uma curva no plano complexo <math>\Gamma \subset \mathbb{C}</math> descrita por uma parametrização
 
<math>\gamma : [a,b] \subseteq \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{C}, \, \gamma(t) = X(t) + i Y(t)</math>
 
e uma função complexa
 
<math>f : D \subseteq \mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C}, \, f(z) = u(z) + i v(z)</math>
 
com ''u'', ''v'' funções reais e contínuas em Γ. Suponhamos que a derivada da função Υ existe, é contínua e não nula no intervalo [''a'',''b''].
A integral de linha de ''f'' em ''Γ'' é definida como <ref>{{cita libro|apellidos1=Derrick|nombre1=William R.|título=Variable compleja con aplicaciones|fecha=1984|editorial=Grupo Editorial Iberoamérica|isbn=968-7270-35-7|páginas=62-64|fechaacceso=27 de diciembre de 2015}}</ref>
<math>\int_int\limits_\Gamma f(z) \, dz = \int_a^b f \Big( \gamma(t) \Big) \cdot \gamma'(t) \, dt = </math>
<math>= \! \int_a^b \left[u\big(\gamma(t)\big) X'(t) \! - \! v\big(\gamma(t)\big) Y'(t)\right] dt \!, dt + \! i \! \int_a^b\left[u\big(\gamma(t)\big) Y'(t) \! + \! v\big(\gamma(t)\big) X'(t)\right] \, dt</math>
<br>
Quando ''f'' é analítica, a integral de linha tem propriedades interessantes e incomuns, como o Teorema de Cauchy local, [[Fórmula integral de Cauchy]] e [[teorema de Liouville]], cujo o resultado permite uma prova formal da importância do [[teorema fundamental da álgebra]].
 
== Ver Também ==
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