Função holomorfa: diferenças entre revisões

'''Funções holomorfas''' são o [[objeto]] central do estudo da [[análise complexa]]. Estas [[funções]] são definidas sobre um [[conjunto aberto|subconjunto aberto]] do [[número complexo|plano de número complexo]] '''<math>\mathbb{C'''}</math> com valores em '''<math>\mathbb{C}</math>''' que são diferenciáveis em cada [[ponto (matemática)|ponto]].<ref name="friedman.2.4">[[Robert Friedman]], [[Columbia University]], ''Department of Mathematics'', 2. ''Complex Functions and the Cauchy-Riemann Equations'', 2.4 ''The Cauchy-Riemann equations'' </ref>

Esta condição é muito mais forte que a [[Derivada|diferenciabilidade em caso real]] e implica que a função é infinitamente diferenciável e que pode ser descrita mediante sua [[série de Taylor]]. O termo '''''[[função analítica]]''''' é frequentemente usada no lugar de "função holomorfa",<ref name="friedman.2.4">[[Robert Friedman]], [[Columbia University]], ''Department of Mathematics'', 2. ''Complex Functions and the Cauchy-Riemann Equations'', 2.4 ''The Cauchy-Riemann equations'' </ref> entretanto o termo "analítico" possui vários outros significados. Uma função que seja holomorfa sobre todo o plano complexo se diz [[função inteira]]. A frase "holomorfa em um ponto<math>a ''a''\in \mathbb{C}</math>" significa não só diferenciável em ''<math>a</math>'', mas diferenciável em algum disco aberto centrado em ''<math>a</math>'', no plano complexo.

Se ''<math>U''</math> é um [[conjunto aberto|subconjunto aberto]] de '''<math>\mathbb{C'''}</math> e ''<math>f'' : ''U'' →\to '''\mathbb{C'''}</math> é uma função<ref>{{Citar web|url = http://omonitor.io/?q=holomorfa|titulo = Faça exemplos com <b>O Monitor</b>|acessodata = 2016-03-24|obra = omonitor.io}}</ref>, dizemos que ''<math>f''</math> é ''diferenciável complexa'' ou ''<math>\mathbb{C}</math>-diferenciável'' no ponto ''z''<submath>0z_0 \in U</submath> de ''U'' se o [[limite]]

Este limite se toma aqui sobre todas as [[seqüência|sucessões]] de números complexos que se aproximam de ''z''<submath>0z_0</submath>, e para todas essa sucessões o quociente de diferenciais tem que resultar no mesmo número ''<math>f''&nbsp;'(''z''<sub>0z_0)</submath>). Intuitivamente, se ''<math>f''</math> é diferenciável complexa em ''z''<submath>0z_0</submath> e nas proximidades ao ponto ''z''<submath>0z_0</submath> da direção ''<math>r</math>'', então as imagens se aproximarão ao ponto ''<math>f''(''z''<sub>0z_0)</submath>) a partir da direção ''<math>f''&nbsp;'(''z''<sub>0z_0)r</submath>) ''r'', onde o último produto é a multiplicação de números complexos. Este conceito de diferenciabilidade compartilha várias propriedades com a [[Derivada|diferenciabilidade em caso real]]: é [[transformação linear|linear]] e obedece as regras da derivação do produto, do quociente, da cadeia e da função inversa.<ref name="friedman.2.3" />

Se ''<math>f''</math> é complexa diferenciável em cada ponto ''z''<submath>0z_0 \in U</submath> em ''U'', dizemos que ''<math>f''</math> é ''holomorfa em <math>U</math>''.<ref name="friedman.2.4" />

* <math>(f + g)' = f' + g'</math>

* <math>(fg)' = f' g + f gfg'</math>

* Se o módulo, ou o argumento, de uma função holomorfa for constante, então a função é constante.<ref name="friedman.2.3" /> O argumento, aqui, é o ângulo &<math>\theta;</math> obtido pela transformação <math>z = r (\cos \theta + i \sin \theta)\,</math>

Pelas propriedades acima, a função <math>f: \mathbb{C} \to \mathbb{R}^{+}_{0}</math>, dada por <math>f(z) = |z|\,</math> não é holomorfa em nenhum aberto (pode-se provar diretamente que esta função não é diferenciável em nenhum ponto<ref name="friedman.2.3" />).