Diferenças entre edições de "Função holomorfa"

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Atualização do LaTeX da página. Informação acerca da relação entre funções holomorfas e equações de Cauchy-Riemann.
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{{mais-notas|data=Novembro de 2011}}
{{Minidesambig|o holomorfo de um fungo|Teleomorfo}}
'''Funções holomorfas''' são o [[objeto]] central do estudo da [[análise complexa]]. Estas [[funções]] são definidas sobre um [[conjunto aberto|subconjunto aberto]] do [[número complexo|plano de número complexo]] '''<math>\mathbb{C'''}</math> com valores em '''<math>\mathbb{C}</math>''' que são diferenciáveis em cada [[ponto (matemática)|ponto]].<ref name="friedman.2.4">[[Robert Friedman]], [[Columbia University]], ''Department of Mathematics'', 2. ''Complex Functions and the Cauchy-Riemann Equations'', 2.4 ''The Cauchy-Riemann equations'' </ref>
 
Esta condição é muito mais forte que a [[Derivada|diferenciabilidade em caso real]] e implica que a função é infinitamente diferenciável e que pode ser descrita mediante sua [[série de Taylor]]. O termo '''''[[função analítica]]''''' é frequentemente usada no lugar de "função holomorfa",<ref name="friedman.2.4">[[Robert Friedman]], [[Columbia University]], ''Department of Mathematics'', 2. ''Complex Functions and the Cauchy-Riemann Equations'', 2.4 ''The Cauchy-Riemann equations'' </ref> entretanto o termo "analítico" possui vários outros significados. Uma função que seja holomorfa sobre todo o plano complexo se diz [[função inteira]]. A frase "holomorfa em um ponto<math>a ''a''\in \mathbb{C}</math>" significa não só diferenciável em ''<math>a</math>'', mas diferenciável em algum disco aberto centrado em ''<math>a</math>'', no plano complexo.
 
== Definição ==
Se ''<math>U''</math> é um [[conjunto aberto|subconjunto aberto]] de '''<math>\mathbb{C'''}</math> e ''<math>f'' : ''U'' \to '''\mathbb{C'''}</math> é uma função<ref>{{Citar web|url = http://omonitor.io/?q=holomorfa|titulo = Faça exemplos com <b>O Monitor</b>|acessodata = 2016-03-24|obra = omonitor.io}}</ref>, dizemos que ''<math>f''</math> é ''diferenciável complexa'' ou ''<math>\mathbb{C}</math>-diferenciável'' no ponto ''z''<submath>0z_0 \in U</submath> de ''U'' se o [[limite]]
 
:<math>f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 }</math>
existir.<ref name="friedman.2.3">[[Robert Friedman]], [[Columbia University]], ''Department of Mathematics'', 2. ''Complex Functions and the Cauchy-Riemann Equations'', 2.3 ''Complex derivatives'' [http://www.math.columbia.edu/~rf/complex2.pdf <nowiki>[em linha]</nowiki>]</ref>
 
Este limite se toma aqui sobre todas as [[seqüência|sucessões]] de números complexos que se aproximam de ''z''<submath>0z_0</submath>, e para todas essa sucessões o quociente de diferenciais tem que resultar no mesmo número ''<math>f''&nbsp;'(''z''<sub>0z_0)</submath>). Intuitivamente, se ''<math>f''</math> é diferenciável complexa em ''z''<submath>0z_0</submath> e nas proximidades ao ponto ''z''<submath>0z_0</submath> da direção ''<math>r</math>'', então as imagens se aproximarão ao ponto ''<math>f''(''z''<sub>0z_0)</submath>) a partir da direção ''<math>f''&nbsp;'(''z''<sub>0z_0)r</submath>) ''r'', onde o último produto é a multiplicação de números complexos. Este conceito de diferenciabilidade compartilha várias propriedades com a [[Derivada|diferenciabilidade em caso real]]: é [[transformação linear|linear]] e obedece as regras da derivação do produto, do quociente, da cadeia e da função inversa.<ref name="friedman.2.3" />
 
Se ''<math>f''</math> é complexa diferenciável em cada ponto ''z''<submath>0z_0 \in U</submath> em ''U'', dizemos que ''<math>f''</math> é ''holomorfa em <math>U</math>''.<ref name="friedman.2.4" />
 
== Propriedades ==
A derivada de uma função complexa tem várias propriedades análogas à [[derivada]] de uma função real, como, por exemplo:
* <math>(f + g)' = f' + g'</math>
* <math>(fg)' = f' g + f gfg'</math>
etc. <ref name="friedman.2.3" />
 
Algumas propriedades de funções holomorfas, porém, não tem equivalentes nas funções reais. Por exemplo:
* Se a parte real, ou a parte imaginária, de uma função holomorfa for constante, então a função é constante.<ref name="friedman.2.4"/>
* Se o módulo, ou o argumento, de uma função holomorfa for constante, então a função é constante.<ref name="friedman.2.3" /> O argumento, aqui, é o ângulo &<math>\theta;</math> obtido pela transformação <math>z = r (\cos \theta + i \sin \theta)\,</math>
 
Pelas propriedades acima, a função <math>f: \mathbb{C} \to \mathbb{R}^{+}_{0}</math>, dada por <math>f(z) = |z|\,</math> não é holomorfa em nenhum aberto (pode-se provar diretamente que esta função não é diferenciável em nenhum ponto<ref name="friedman.2.3" />).
 
Além disso, se uma função <math>f: U \to \mathbb{C}</math> é holomorfa no aberto <math>U \subset \mathbb{C}</math> e é dada por<math>f(z) = f(x+iy) = u(x,y)+iv(x,y)</math>, então satisfaz as [[Análise complexa#As Condi.C3.A7.C3.B5es de Cauchy-Riemann|equações de Cauchy-Riemann]] <math>\big(\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} </math> e <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\big)</math> para todo o <math>z_0 \in U</math>. O recíproco não é, em geral, verdade. A condição torna-se necessária e suficiente se for exigido que <math>u</math> e <math>v</math> sejam funções de classe <math>C^1</math>no ponto <math>(x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2</math> tal que <math>z_0 = x_0 + iy_0</math>.
 
== {{Ver também}} ==
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