Distribuição uniforme: diferenças entre revisões
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Corrigi erros, ajustei e acrescentei onde vai para se chegar na fórmula da variância. |
Título "Esperança e Variância: desenvolvimento dos cálculos'; acréscimo do desenvolvimento matemático da esperança |
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Linha 23:
Esta distribuição tem valor médio ou esperança matemática de '''X''', dada por <math>E(X) =\frac {a + b}{2}\,</math> e [[variância]] <math>Var(X) = \frac {(b - a)^2}{12}\,</math>.
== Esperança e Variância: desenvolvimento dos cálculos ==
A seguir, apresenta-se o desenvolvimento dos cálculos visando chegar as fórmulas anteriormente apresentadas, da esperança e por conseguinte da variância.
Seja X a variável com distribuição uniforme contínua no intervalo de “a” até “b”. Então:
<math>f(x) = {1 \over b - a }, a \leq x \leq b</math>
<math>f(x)= 0</math>, caso contrário.
Aplicando a fórmula da esperança:
<math>E(X) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x \times f(x) dx</math>
<math>E(X) = \int\limits_{a}^{b} x \times {1\over b-a} dx</math>
<math>E(X) = {1 \over b-a}\left ( \frac{x^2}{2} \right )_{a}^{b} </math>
<math>E(X) = {1 \over b-a} \times {b^2 - a^2 \over 2} </math>
Fatorando:
<math>E(X) = {1 \over b-a} \times {(b-a) \times (b+a) \over 2} = {b+a\over 2} </math>
Calculando a média de X²:
<math>E(X^2) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^2 \times f(x) dx</math>
<math>E(X^2) = \int\limits_{a}^{b} x^2 \times {1\over b-a} dx</math>
<math>E(X^2) = {1 \over b-a}\left ( \frac{x^3}{3} \right )_{a}^{b} </math>
<math>E(X^2) = {1 \over b-a} \times {b^3 - a^3 \over 3} </math>
Fatorando:
<math>E(X^2) = {1 \over b-a} \times {(b-a) \times (b^2+ab+a^2) \over 3} = {b^2+ab+a^2\over 3} </math>
A fórmula da variância para a distribuição uniforme é a diferença entre a esperança de <math>X^2</math> o quadrado da esperança de <math>X</math>. Então:
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