Diferenças entre edições de "Sistema de coordenadas cartesiano"

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→‎Localização de pontos: não é necessariamente ao lado (nem acima). Depende do tamanho da tela e da janela do navegador; -hack obsoleto
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A {{PEPB|Abcissa|Abscissa}}<ref>{{citar web | titulo="Abcissa", ou "abscissa"? | publicado=Ciberdúvidas da Língua Portuguesa | data=2 de abril de 2008 | url=http://www.ciberduvidas.com/pergunta.php?id=23154 | acessodata=22 de julho de 2011 }}</ref> é a coordenada horizontal de um [[referencial]] plano de coordenadas cartesianas. Representando esse referencial sob a forma de um [[gráfico de uma função|gráfico]], obtemos a abcissa (<math>x</math>) medindo a distância do ponto observado ao eixo das [[ordenada]]s (y), perpendicular ao eixo das abcissas.
 
É representada pela [[Incógnita (matemática)|incógnita]] <math>x</math> num gráfico tipo <math>(x,y),</math>, o que significa que representa o objeto sobre o qual a [[função matemática|função]] opera, convertendo-o na sua imagem (<math>y</math>). Todo ponto que pertença à [[bissetriz]] dos quadrantes ímpares (1º e 3º quadrantes) apresenta ordenada igual a abcissa (<math>y=x</math>). Todo ponto que pertença à [[bissetriz]] dos quadrantes pares (2° e 4° quadrantes) apresenta ordenada igual ao simétrico da abcissa (<math>y=-x</math>).
 
A '''ordenada''' é a coordenada vertical de um ponto num referencial plano de coordenadas cartesianas. Representando este referencial sob a forma de um gráfico, obtemos a ordenada (<math>y</math>) medindo a distância do ponto observado ao eixo das [[abcissa]]s (<math>x</math>), paralelamente ao eixo das ordenadas.
A convenção mais usada nos sistemas de referência, estabelece que os sentidos: '''Para frente''', '''para a direita''' e '''para cima''' são '''positivos''' e os seus '''opostos''' são '''negativos'''.
 
Um sistema de coordenadas tridimensionais pode ser obtido através desta estrutura de três eixos que se interceptam em um único ponto, ao qual chamamos de origem e que também marca uma distinção angular entre os eixos, fazendo com que cada um seja reto em relação aos vizinhos. Nos sentidos positivos coloca-se uma seta para indicar a progressão crescente dos valores. Num sistema como este cada eixo recebe o nome associado a variável que é expressa, ou seja, <math>(x,y,z) \,\!</math>, que representam as três direções do sistema.
 
=== Localização de pontos ===
[[Imagem:Cartesian coordinates 3D.svg|thumb|direita|350px|Coordenadas cartesianas]]
 
Agora observe o sistema aorepresentado lado,na figura. neleNele podemos observar a distribuição das variáveis em seus eixos, note que o eixo vertical correspondente à altura é convencionado como eixo <math>z \,\!</math>, o horizontal, correspondente à largura é convencionalmente chamado de eixo <math>x \,\!</math>, enquanto que o último, na diagonal em relação ao observador, correspondente à profundidade, é chamado de eixo <math>y \,\!</math>, cada segmento de eixo partindo da origem gera um '''octante''', visto que o sistema tem '''oito''' subplanos partindo da origem.
 
A tripla ordenada no formato <math>(x,y,z) \,\!</math>, corresponde a um único ponto no sistema, o qual é encontrado através do reflexo dos valores nos eixos, da seguinte forma:
 
Se desejarmos encontrar o ponto <math>(3,0,5) \,\!</math> localizamos o valor ''3'' no eixo <math>x \,\!</math>, depois o ''zero'' no eixo <math>y \,\!</math>, estes dois valores determinam uma linha sobre o eixo <math>x \,\!</math>, depois localizamos o valor ''5'' no eixo <math>z \,\!</math> e traçamos uma subreta paralela à linha que encontramos anteriormente, nesta altura, no lado oposto ao eixo <math>z \,\!</math> na direção da subreta está o ponto.
 
Por outro lado se desejarmos encontrar o ponto <math>(-5,-5,7) \,\!</math> localizamos o valor ''-5'' no eixo <math>x \,\!</math>, depois o ''-5'' no eixo <math>y \,\!</math>, estes dois valores determinam um plano sobre os eixos <math>x \,\!</math> e <math>y \,\!</math>, depois localizamos o valor ''7'' no eixo <math>z \,\!</math> e traçamos um subplano paralelo ao plano anteriormente encontrado, nesta altura, no lado oposto ao eixo <math>z \,\!</math>, na direção do encontro das duas subretas que definem o plano, está o ponto.
 
=== Planos primários ===
Suponha que definimos um dos valores da tripla ordenada, por exemplo:
 
* <math>(a,y,z) \,\!</math> ou,
* <math>(x,a,z) \,\!</math> ou,
* <math>(x,y,a) \,\!.</math>.
 
Onde <math>a \,\!</math> é uma constante.
 
Temos, em cada caso, um plano definido como paralelo ao plano dos dois eixos restantes, pois qualquer valor que seja dado às demais variáveis da tripla ordenada será projetado sobre o plano que foi definido.
'''Comprovação:'''
 
No plano <math>xy \,\!</math> a distância entre os dois pontos do subplano <math>(x,y,0) \,\!</math> é <math>D2_{ab} \,\!</math>, para obter a distância no espaço, precisamos encontrar a distância <math>xy \to z \,\!.</math>. , mais precisamente a distância do ponto extremo, resultante do encontro dos valores de <math>x \,\!</math> e <math>y \,\!</math>, com o valor em <math>z \,\!.</math>. Esta distância <math>xy \,\!</math> corresponde a <math>D2_{ab} \,\!</math>, logo:
 
<math>D3_{ab}=\sqrt{\left(D2_{ab}\right)^2+(z_b-z_a)^2} \,\!</math>
 
O que define o seu valor após a substituição de <math>D2_{ab} \,\!</math>, resultando na fórmula definida anteriormente.<ref name="Cálculo"/>
 
=== Distância entre um ponto e uma reta ===
Quando se deseja descobrir a distância de um ponto <math>P</math> à uma reta <math>r,</math>, deseja-se saber o menor caminho entre os dois. Para isso devemos achar um ponto <math>Q</math> da reta, tal que a distância entre esse ponto e o ponto <math>P</math> seja mínimo.
 
<math>D_{P-r} ={ {|ax_0 + by_o + c|}\over{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}}</math>
 
=== A esfera ===
Por definição, a esfera é o conjunto de todos os pontos no espaço que estão equidistantes de um ponto específico, ao qual denominamos centro. Considerando que as coordenadas de qualquer ponto são <math>(x,y,z) \,\!</math> e que podemos especificar um ponto de coordenadas <math>(h,k,l) \,\!</math>, a distância entre os pontos é:
 
<math>D3_{ab}=\sqrt{(x-h)^2+(y-k)^2+(z-l)^2} \,\!</math>
 
Definimos <math>D3_{ab}=R \,\!</math>, que é o raio da esfera, consequentemente:
 
<math>R^2=(x-h)^2+(y-k)^2+(z-l)^2 \,\!</math>
 
Quaisquer conjuntos de pontos que constituem uma esfera também são delimitadores de um espaço no interior da mesma que gera um volume, o qual pode ser calculado pelo cálculo de volumes com a técnica de secionamento por Lâminas paralelas;