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Linha 35:
Em cada ponto, o [[gradiente]] aponta para o vizinho que representar o maior incremento infinitesimal. O gradiente é um campo vectorial e seu domínio é um campo escalar.
 
<math display="block">\vec{\nabla} f = \sum_isum^i D_i f \cdot \hat e_i</math>
 
Portanto o gradiente de <math>f</math> para três dimensões no espaço carteseano <math>\vec x = \left\langle x,y,z \right\rangle</math> é dado por:
 
<math display="block">\vec{\nabla} f = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x} , \frac{\partial f}{\partial y} , \frac{\partial f}{\partial z} \right\rangle</math>
 
O processo de computação do gradiente é revertido pelo [[integral de linha]] de acordo com o [[teorema fundamental do cálculogradiente]].
 
<math display="block"> \Delta f = f_Q - f_P = \int^{\gamma_Q}_{\gamma_P} \vec{\nabla} f \cdot \vec{d\gamma}</math>
 
==== Identidades do gradiente ====
#<math>\vec{\nabla} (f+g) = \vec{\nabla} f + \vec{\nabla} g</math><br />
#<math>\nabla (fg) = f \nabla g + g \nabla f</math><br />
 
===Derivada direcional===
A [[derivada direcional]] é um escalar que representa a derivada dum campo escalar (no caso, f) ao longo de umaum certa direçãovector (no caso abaixo, <math>\hatvec u</math>).
<math display="block">\forall~ \hatvec u \quad D_\nabla\!_{\hatvec u}\,f = \hat{vec u} \cdot \vec{\nabla} f</math>
 
Lê-se, derivada de f na direção de <math>\hat{u}</math>
 
Em coordenadas cartesianas,
<math display="block">\hat{vec u} \cdot \vec{\nabla} f = u_x \; \frac{\partial f}{\partial x} + u_y \; \frac{\partial f}{\partial y} + u_z \; \frac{\partial f}{\partial z}</math>
 
Em coordenadas cilíndricas,
<math display="block">\hat{vec u} \cdot \vec{\nabla} f = u_r \; \frac{\partial f}{\partial r} + \frac{u_{\theta}}{r} \; \frac{\partial f}{\partial \theta} - \frac{u_{\theta}^2}{r} + u_z \; \frac{\partial f}{\partial z}</math>
 
===Divergência===
A [[divergência]] (ou '''divergente''') é um campo escalar igual ao [[traço (álgebra linear)]] da [[matriz jacobiana]] dum campo vectorial.
<math display="block">\vec{\nabla} \bullet \vec F = \sum_isum^i D_i \vec F_i =\sum_i\frac{\partial F_i}{\partial x_i}= \mbox{Sp}\mathbf{J}^{\vec F}_{\vec x}</math>
 
Portanto a divergência de <math>\vec F</math> para três dimensões no espaço carteseano <math>\vec x = \left\langle x,y,z \right\rangle</math> é dada pela seguinte soma:
<math display="block">\vec{\nabla} \bullet \vec F = \frac{\partial \vec F_x}{\partial x} + \frac{\partial \vec F_y}{\partial y} + \frac{\partial \vec F_z}{\partial z}</math>
 
Denomina-se '''convergência''' o [[inverso aditivo]] da divergência.
 
==== Identidades da divergência ====
#<math>\vec{\nabla} \cdot(\vecoverrightarrow{F}+\vecoverrightarrow{G})= \vec{\nabla}\cdot\vecoverrightarrow{F} + \vec{\nabla} \cdot\vecoverrightarrow{G}</math><br />
 
===Rotacional===
A [[rotacional]] (ou '''rotor''') é o [[determinante]] entre três bases padrões, três componentes do vector del e três componentes dum campo vectorial.
 
<math display="block">\vec{\nabla} \times \vec F = \sum_i D_i \vec F \times \hat e_i = \sum_{ijk} \varepsilon_{ijk} \cdot \hat e_i \cdot D_j \vec F_k</math>
 
Pelo [[teorema de Laplace]] o rotor de <math>\vec F</math> no espaço carteseano <math>\vec x = \left\langle x,y,z \right\rangle</math> é:
Linha 82 ⟶ 80:
<math display="block">\begin{align}
 
\vec{\nabla} \times \vec F = \bigg\langle
&D_y \vec F_z - D_z \vec F_y,\\
&\left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right),\\
&D_z \vec F_x - D_x \vec F_z,\\
&\left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right),\\
&D_x \left(\frac{\partialvec F_y}{\partial x} - D_y \frac{\partialvec F_x}{\partial y}\right) \bigg\rangle\\
 
\end{align}</math>
 
==== Identidades do rotacional ====
#<math>\vec{\nabla}\times(\vecoverrightarrow{F}+\vecoverrightarrow{G})= \vec{\nabla}\times\vecoverrightarrow{F} + \vec{\nabla}\times\vecoverrightarrow{G}</math><br />
 
===Operações combinadas===
Linha 121 ⟶ 119:
Todas essas três operações definidas e não-triviais são relacionadas pela seguinte identidade:
 
<math display="block">\underbrace{\left( \sum^i \vec{\nabla}^2 \vec F_i \right)}_{laplaciano\,vectorial} + \underbrace{\left(\vec{\nabla}\times\left(\vec{\nabla}\times\vec F \right)\right)}_{rotor\,do\,rotor} = \underbrace{\left( \vec{\nabla}\left(\vec{\nabla}\bullet\vec F\right) \right)}_{gradiente\,do\,divergente}</math>
 
====Laplaciano====
O [[laplaciano]] escalar é o divergente do gradiente ou o [[traço (álgebra linear)]] da [[matriz hessiana]] dum campo escalar.
 
<math display="block">\vec{\nabla}^2 f = \vec{\nabla} \bullet \vec{\nabla} f = \sum^i D^2_i f = \mbox{Sp}\mathbf{H}^{f}_{\vec x}</math>
 
Onde:
Linha 133 ⟶ 131:
 
O laplaciano de <math>f</math> para três dimensões no espaço carteseano <math>\vec x = \left\langle x,y,z \right\rangle</math> é dado pela seguinte soma:
<math display="block">\vec{\nabla}^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}</math>
 
==== Outras combinações ====
#<math> \vec{\nabla} \cdot(f\vecoverrightarrow{F})= ( \vec{\nabla} f)\cdot\vecoverrightarrow{F} +f( \vec{\nabla} \cdot\vecoverrightarrow{F})</math><br />
#<math> \nabla \times(f\overrightarrow{F})= ( \nabla f)\times\overrightarrow{F}+ f( \nabla \times\overrightarrow{F})</math><br />
#<math> \vec{\nabla} \cdot(\vecoverrightarrow{F}\times\vecoverrightarrow{G})= \vecoverrightarrow{G}\cdot( \vec{\nabla} \times\vecoverrightarrow{F}) -\vecoverrightarrow{F}\cdot( \vec{\nabla} \times\vecoverrightarrow{G})</math><br />
#<math> \vec{\nabla} (\vecoverrightarrow{F}\cdot\vecoverrightarrow{G})= (\vecoverrightarrow{G}\cdot \vec{\nabla} )\vecoverrightarrow{F}+(\vecoverrightarrow{F}\cdot \vec{\nabla} )\vecoverrightarrow{G} +\vecoverrightarrow{G}\times( \vec{\nabla} \times\vecoverrightarrow{F})+ \vecoverrightarrow{F}\times( \vec{\nabla} \times\vecoverrightarrow{G}) </math>
#<math> \vec{\nabla} \times(\vecoverrightarrow{F}\times\vecoverrightarrow{G})= (\vecoverrightarrow{G}\cdot \vec{\nabla} )\vecoverrightarrow{F}-\vecoverrightarrow{G}( \vec{\nabla} \cdot\vecoverrightarrow{F}) - (\vecoverrightarrow{F}\cdot \vec{\nabla} )\vecoverrightarrow{G}+ \vecoverrightarrow{F}( \vec{\nabla} \cdot\vecoverrightarrow{G}) </math>
#<math> \vec{\nabla} \times ( \vec{\nabla} \times \vecoverrightarrow{F} ) = \vec{ \nabla} ( \vec{\nabla} \cdot\vecoverrightarrow{F}) - \vec{\nabla} ^2 \vecoverrightarrow{F} </math> dado que funções <math>f</math> e <math>\overrightarrow{F}</math> têm derivadas parciais de 2.ª ordem contínuas<br />
#<math> \vec{\nabla} \times ( \vec{\nabla} f) = \vecoverrightarrow{0}</math> dado que funções <math>f</math> e <math>\vecoverrightarrow{F}</math> têm derivadas parciais de 2.ª ordem contínuas<br />
#<math> \vec{\nabla} \cdot (\vec{ \nabla} \times \vecoverrightarrow{F} ) = 0</math> dado que funções <math>f</math> e <math>\vecoverrightarrow{F}</math> têm derivadas parciais de 2.ª ordem contínuas<br />
 
===Laplaciano vetorialvectorial===
Cada componente do '''laplaciano vetorialvectorial''' representa o laplaciano do componente respectivo do campo vetorialvectorial argumento.
 
<math display="block">\vec{\nabla}^2 \vec F = \sum_isum^i \nabla^2 \vec F_i \cdot \hat e_i = \sum_sum^{ij} D^2_j \vec F_i \cdot \hat e_i = \sum_isum^i \mbox{Sp}\mathbf{H}^{\vec F_i}_{\vec x} \cdot \hat e_i</math>
 
Onde:
 
<math display="block">D^2_j \vec F_i = D_j \left( D_j \vec F_i \right) = \frac{\partial^2 \vec F_i}{\partial \vec x^2_j}</math>
 
Portanto o laplaciano vetorialvectorial de <math>\vec F</math> para três dimensões no espaço cartesianocarteseano <math>\vec x = \left\langle x,y,z \right\rangle</math> é:
 
<math display="block">\begin{align}
Linha 160 ⟶ 158:
\nabla^2 \vec F = \Bigg\langle
 
&\frac{\partial^2 \vec F_x}{\partial x^2} + \frac{\partial^2F_x2 \vec F_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2F_x2 \vec F_x}{\partial z^2},\\
 
& \frac{\partial^2F_y2 \vec F_y}{\partial x^2} + \frac{\partial^2F_y2 \vec F_y}{\partial y^2} + \frac{\partial^2F_y2 \vec F_y}{\partial z^2},\\
 
&\frac{\partial^2F_z2 \vec F_z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \vec F_z}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \vec F_z}{\partial z^2} \Bigg\rangle\\
 
\end{align}</math>
 
==VetorVector "del" (ou nabla)==
Apesar de se tratar de umdum grave caso de [[abuso de notação]], é muito comum se encontrar a seguinte definição dode '''vetorvector nabladel''':
 
<math display="block">\vec{ \nabla} = \sum_isum^i \frac{\hat{q}_i}{h_i} \cdot \frac{\partial}{\partial \vec x_i}</math>
 
&hellip;onde <math>h_i</math> é o módulo do vetor <math>\hat{q}_i.</math>
Linha 178 ⟶ 176:
Em [[coordenadas cartesianas]], em que <math>h_i=1</math> obtém-se:
 
<math display="block">\vecoverrightarrow{\nabla} = \hat{i}{\partial \over \partial x} + \hat{ij} + {\partial \over \partial y} + \hat{jk} + {\partial \over \partial z}\hat{k}.</math>
 
=== Em coordenadas cilíndricas ===
Linha 184 ⟶ 182:
 
<math display="block">
\vecoverrightarrow{\nabla} = \hat{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}
+\frac{\hat{\varphi}}{\rho}\frac{\partial }{\partial \varphi}+
\hat{z}\frac{\partial }{\partial z}
Linha 193 ⟶ 191:
 
<math display="block">
\vecoverrightarrow{\nabla} = \hat{r}\frac{\partial }{\partial r}
+\frac{\hat{\theta}}{r}\frac{\partial }{\partial \theta}+
\frac{\hat{\varphi}}{r\,{\rm sen}\,\theta}\frac{\partial }{\partial \varphi}
Linha 201 ⟶ 199:
Com o vector del, a [[derivada direcional]] pode ser redefinida como a [[combinação linear]] de <math>\vec u</math> com <math>\vec \nabla:</math>
 
<math display="block">\vec \nabla_{\hatvec u} = \sum_isum^i \hat{u}_ivec u_i \cdot \frac{\partial}{\partial \vec x_i} = \hatvec u \cdot \vec \nabla</math>
 
Em três dimensões no espaço carteseano <math>\vec x = \left\langle x,y,z \right\rangle</math> temos que:
Linha 214 ⟶ 212:
A divergência passa a ser a [[combinação linear]] (não o [[produto escalar]]! – veja abaixo) entre o vector del e o campo vectorial em questão:
 
<math display="block">\vec \nabla \cdot \vec F = \sum_isum^i \frac{\partial}{\partial \vec x_i} \, \cdot \, \vec F_i</math>
 
=== Laplaciano com o vector del ===
Linha 244 ⟶ 242:
 
=== Riscos do abuso de notação ===
O uso do vetorvector del pode gerar muita confusão – por exemplo, a multiplicação envolvendo vector del e não é comutativa, distributiva nem euclideana; também o vetorvector del não tem magnitude nem direçãodirecção. Esses fatores podem induzir iniciantes ao erro.
 
== Alternativas ao símbolo nabla ==
O símbolo [[nabla]] foi introduzido por [[William Rowan Hamilton|William Hamilton]] e rapidamente assimilado pela comunidade científica. Ainda assim, alguns autores preferem escrever a sigla de cada operador apresentado acima ao invés de usar o nabla:
 
<math display="block">\vec{\nabla} f = \mbox{grad} f</math>
 
<math display="block">\vec{\nabla}\!_{\hatvec u}\,f = \hatvec u \cdot \mbox{grad} f</math>
 
<math display="block">\vec{\nabla} \bullet \vec F = \mbox{div} \vec F</math>
 
No caso do rotacional as siglas podem fazer referências aos termos [[Língua inglesa|anglófonos]] como "''curl''" ou "''rotor''":
 
<math display="block">\vec{\nabla} \times \vec F = \mbox{curl} \vec F = \mbox{rot} \vec F</math>
 
Já o laplaciano pode ser representado pela letra grega delta maiúscula em vez do tradicional nabla elevado ao quadrado.
 
<math display="block">\vec{\nabla}^2 f = \mbox{div} \mbox{grad} f = \Delta f</math>
 
<math display="block">\vec{\nabla}^2 \vec F = \mathbf{\Delta \vec F}</math>
 
==Notação de Einstein==