Autovalores e autovetores: diferenças entre revisões
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#REDIRECIONAMENTO [[Vector próprio]]▼
[[Ficheiro:Mona Lisa with eigenvector.png|thumb|direita|300px|Fig.1.Observe que neste [[mapeamento]] de cisalhamento da [[Mona Lisa]], a imagem foi deformada de tal modo que o seu eixo central vertical (vector vermelho) não mudou de direção, mas o vector diagonal (azul) mudou de direção. Isso ocorre porque o vetor vermelho é um autovetor da transformação e o vetor azul não é. Caso o vetor vermelho não tenha seu módulo alterado - não seja esticado nem encolhido, o seu valor próprio (autovalor) é igual a 1. Todos os vectores com a mesma direção vertical, isto é, paralelos a este vetor, também são próprios, com o mesmo autovalor. Juntamente com o zero-vetor, eles formam o autoespaço para este autovalor.]]
Em [[álgebra linear]], um [[escalar]] λ é '''valor próprio'''<ref name="callioli">Callioli, Domingues & Costa, p. 258</ref> (ou '''autovalor'''<ref name="callioli" /><ref name="leon">Leon, p. 212</ref><ref>Abramo & Fernandez, p. 204</ref> ou '''valor característico'''<ref name="callioli" /><ref name="leon"/><ref>Hoffman & Kunze, p. 177</ref>) de um [[operador linear]] <math>A: V\rightarrow V</math> se existir um [[vector]] '''''x''''' diferente de [[zero]] tal que <math>A\bold{x}=\lambda \bold{x}</math>. O vector '''''x''''' é chamado [[vector próprio]] (ou '''autovetor''' ou '''vetor característico''').
Os autovalores de uma dada [[matriz quadrada]] A de dimensão <math>n \times n</math> são os ''n'' números que resumem as propriedades essenciais daquela [[matriz]]. O autovalor de A é um [[número]] λ tal que, se for subtraído de cada entrada na diagonal de A, converte A numa [[matriz singular]](ou não-invertível). Subtrair um [[escalar]] λ de cada entrada na diagonal de A é o mesmo que subtrair λ vezes a [[matriz identidade]] I de A. Portanto, λ é um autovalor se, e somente se, a matriz <math>(A - \lambda I)</math> for singular.<ref name="simon">SIMON, Carl P., e BLUME, Lawrence. ''matemática para Economistas''.Porto Alegre: Bookman, 2004, reimpressão 2008. ISBN 978-85-363-0307-9. Capítulo 23, página 583 a 585.</ref>
== Multiplicidade ==
Caso o [[espaço vetorial|espaço vectorial]] no qual ''A'' esteja definido tenha dimensão finita, a '''multiplicidade algébrica''' (ou apenas '''multiplicidade''') de um valor próprio λ de ''A'' é o número de factores <math>t-\lambda</math> do [[polinómio característico]] de ''A''.
== Autovalor de matriz diagonal ==
As entradas na diagonal de uma [[matriz diagonal]] D são autovalores de D.<ref name=simon/> Por exemplo, o elemento d<sub>11</sub> é um autovalor da matriz abaixo:
:<math>
D= \begin{bmatrix}
d_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & d_{22} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & d_{nn}
\end{bmatrix}
</math>
== Autovalor de matriz singular ==
{{Artigo principal|Polinômio característico}}
Uma [[matriz quadrada]] A é [[matriz singular|singular]] se, e somente se, 0 é um autovalor de A. Esta é, aliás, a principal técnica para descobrir se uma [[matriz]] é singular: <math>det \left ( A-\lambda I \right )=0</math>. para uma [[matriz]] de dimensão nXn, o lado esquerdo desta [[equação]] é um [[polinômio]] de grau n na [[variável]] λ, denominado [[polinômio característico]] de A.<ref name=simon/>
== Traço e determinante ==
{{Artigo principal|determinante}}
Suponhamos que os valores próprios (autovalores) de uma [[matriz]] ''A'' são λ<sub>1</sub>, λ<sub>2</sub>, ..., λ<sub>n</sub>. Então, o [[Traço (álgebra linear)|traço]] de ''A'' é λ<sub>1</sub> + λ<sub>2</sub> + ... + λ<sub>n</sub> e o [[determinante]] de ''A'' é λ<sub>1</sub>λ<sub>2</sub>...λ<sub>n</sub>. Estes são dois conceitos importantes em teoria matricial.
== Interpretação geométrica ==
[[Ficheiro:Eigenvalue equation.svg|thumb|direita|200px|Fig. 2. A transformação '''A''' aumenta a magnitude do vetor '''x''', mas não muda sua direção. Logo, '''x''' é um autovetor de '''A''', e λ um autovalor de '''A'''.]]
Geometricamente (Fig. 2), a equação do valor próprio (autovalor) <math>A\bold{x}=\lambda \bold{x}</math> implica que numa transformação ''A'', autovetores sofrem apenas mudança na sua magnitude e sinal — a direção de ''A'''''x''' é a mesma direção de '''x'''. O autovalor λ indica apenas o quanto o vetor irá "encolher" ou "esticar" ao sofrer a transformação ''A''. Se λ = 1, o vetor permanece inalterado (não é afetado pela transformação). Se λ = −1 o vetor passa a ter a direção oposta (muda de sentido apenas) e a transformação é chamada [[Reflexão (matemática)|reflexão]]. A transformação ''I'' sob a qual um vetor '''x''' permanece inalterado, ''I'''''x''' = '''x''' é definida como transformação identidade.
== Exemplo ==
Às vezes é possível descobrir um ou mais autovalores de uma matriz por inspeção.<ref name=simon/> Seja, por exemplo, a matriz
<math>A= \begin{bmatrix}
3 & 1 \\
1 & 3 \\
\end{bmatrix}
</math>.<ref>{{Citar web|url=http://omonitor.io/?q=autovalores+2|titulo=O Monitor - Resolve, confere e ilustra|data=|acessodata=19 de março de 2016|obra=omonitor.io|publicado=|ultimo=|primeiro=}}</ref> Subtraindo 2 de cada entrada da diagonal principal, transformamos A em uma [[matriz singular]]:
<math>\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1 \\
\end{bmatrix}
</math>. Portanto, 2 é um autovalor da [[matriz]] A. Também subtraindo 4 de cada entrada da diagonal principal, transformamos A em uma [[matriz singular]]:
<math>\begin{bmatrix}
-1 & 1 \\
1 & -1 \\
\end{bmatrix}
</math>. Portanto, 4 é o segundo autovalor da [[matriz]] A.
{{Referências}}
* {{Citar livro|nome=Steven J.|sobrenome=Leon |título=Álgebra Linear Com Aplicações |edição=4 |local=Rio de Janeiro |editora=LTC |ano=1998 |páginas= 390 |id=ISBN 8521611501 }}
* {{Citar livro|nome=Abramo|sobrenome=Hefez|nome2=Cecília S. |sobrenome2=Fernandez |título=Introdução à Álgebra Linear |edição=2 |local=Rio de Janeiro |editora=SBM |ano=2016 |páginas= 271 |id=ISBN 9788583370871 }}
* {{Citar livro|nome=Kenneth|sobrenome=Hoffman|nome2=Ray |sobrenome2=Kunze |título=Álgebra Linear |edição=1 |local=Rio de Janeiro |editora=LTC |ano=1976 |páginas= 356 }}
* {{Citar livro|nome=Carlos A.|sobrenome=Callioli|nome2=Hygino H. |sobrenome2=Domingues|nome3=Roberto C. F. |sobrenome3=Costa |título=Álgebra Linear e Aplicações |edição=4 |local=São Paulo |editora=Atual |ano=1983 |páginas= 332 }}
==Ver também==
*[[Decomposição em Valores Singulares]] - valor singular e vetor singular (ideias semelhantes para matrizes retangulares)
*[[Forma canônica de Jordan]]
*[[wikibooks:Linear Algebra/Eigenvalues and eigenvectors]]
{{Álgebra linear}}
{{Esboço-matemática}}
{{DEFAULTSORT:Valor Proprio}}
[[Categoria:Álgebra linear]]
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