Seja <math>r>0</math> tal que <math>|p(z)|>|p(0)|</math> quando <math>|z|</math>≥ <math>\geqslant r</math> e seja <math>D</math> o disco fechado de raio <math>r</math> centrado em <math>0</math>. Uma vez que <math>D</math> é compacto, a restrição a <math>D</math> de <math>|p|</math> tem um mínimo; seja <math>z_0</math> um ponto de <math>D</math> onde esse mínimo seja atingido. Então, <math>z_0</math> não pode estar situado na fronteira de <math>D</math>, pois nos pontos <math>z</math> da fronteira tem-se <math>|p(z)|>|p(0)|</math> ≥ <math>\geqslant|p(z_0)|</math>. Logo, <math>z_0</math> está no interior de <math>D</math> e, portanto, pelo princípio do mínimo, <math>p(z_0)=0</math>. Por outra palavras, <math>z_0</math> é um zero de <math>p(z)</math>.
Outra demonstração analítica pode ser obtida usando o [[teorema de Liouville]]. Suponhamos com vista a um [[absurdo]] que p(z)≠0 para todo o <math>z</math> pertencente a <math>C</math>. Como <math>p(z)</math> é [[número inteiro|inteira]] e não tem raizes, então <math>1/p(z)</math> também é inteira.
