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Transformação linear: diferenças entre revisões

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Reposicionamento da referência após os dois pontos; +vírgula; +format. <math> e pontuação
Linha 7:
Sejam <math>V</math> e <math>W</math> [[espaço vetorial|espaços vetoriais]] sobre o mesmo [[corpo (matemática)|corpo]] <math>K.</math>
 
Diz-se que uma [[função (matemática)|função]] <math>T:V\rightarrow{W}</math> é uma ''transformação linear'' se, para quaisquer <math>u,v\in{V}</math> e <math>\alpha\in{K},</math>valem as relações:<ref>{{citar livro|título=Álgebra Linear|ultimo=Lima|primeiro=Elon Lages|editora=IMPA|ano=2016|edicao=9ª|series=Coleção matemática universitária|local=Rio de Janeiro|páginas=357 p.|isbn=9788524404207}}</ref>
* <math>T(v+w)=T(v)+T(w);</math>
* <math>T(\alpha v)=\alpha T(v).</math>
* <math>T(\alpha v)=\alpha T(v).</math><ref>{{citar livro|título=Álgebra Linear|ultimo=Lima|primeiro=Elon Lages|editora=IMPA|ano=2016|edicao=9ª|series=Coleção matemática universitária|local=Rio de Janeiro|páginas=357 p.|isbn=9788524404207|acessodata=}}</ref>
 
=== Exemplos ===
Linha 92:
então
<math display="block">T\bigl(\alpha_1w_1+\alpha_2w_2+\cdots+\alpha_mw_m\bigr)=0\Rightarrow\alpha_1w_1+\alpha_2w_2+\cdots+\alpha_mw_m\in\ker(T),</math>
de onde resulta que <math>\alpha_1w_1+\alpha_2w_2 +</math>&nbsp;···&nbsp;<math> \ldots + \alpha_mw_m</math> é uma combinação linear dos vetores <math>v_1,v_2,\ldots,v_n,</math>, o que é só é possível se <math>\alpha_1=\alpha_2=</math>···<math>\ldots =\alpha_m=0,</math>, pois o conjunto <math>\{v_1,v_2,\ldots,v_n,w_1,w_2,\ldots,w_m\}</math> é uma base e, portanto, linearmente independente.
 
Este teorema também pode ser estendido para dimensões infinitas, mas, neste caso, sua demonstração e até o enunciado dependem do [[axioma da escolha]].
Linha 133:
Como a [[composição de funções|composição]] de operadores lineares é um operador linear, este espaço tem uma estrutura de álgebra, em que a composição de funções faz o papel do produto de operadores.
 
Assim, dado um operador linear <math>T,</math>, podem-se definir as potências <math>T^2, T^3,</math>, ou, de modo geral, <math>T^n ,\forall n\in\mathbb{Z^+}.</math>. Portanto, se <math>p(x)</math> é um [[polinómio|polinômio]] com coeficientes no corpo de escalares, faz sentido definir <math>p(T)
:</math>:
<math display="block">p(x) = a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n \implies p(T) = a_0 I_V + a_1 T + \ldots + a_n T^n,</math>
em que <math>I_V</math> é o operador identidade em <math>V.</math>.
 
Verificam-se facilmente as seguintes propriedades:
* Se ''<math>p(x)</math>'' e <math>q(x)</math> são polinômios, então <math>p(T) + q(T) = (p + q)(T)</math> e <math>p(T) q(T) = (pq)(T).</math>
 
Se o espaço <math>V</math> tem dimensão finita <math>n,</math>, então <math>L(V,V)</math> também tem dimensão finita <math>n^2.</math>. Portanto, o conjunto de ''<math>n^2+1</math>'' operadores <math>\{I_V, T, \ldots, T^{n^2} \}</math> é [[linearmente dependente]]. Logo, existem escalares <math>a_0, a_1, \ldots a_{n^2},</math> não todos nulos, tais que <math>a_0 I_V + a_1 T + \ldots + a_{n^2} T^{n^2} = 0.</math> Ou seja, existe um polinômio não-nulo ''<math>p(x)</math>'' tal que ''<math>p(T)=0</math>''.
 
Se existe um polinômio não-nulo ''<math>f(x)</math>'' tal que ''<math>f(T)=0</math>'', então o conjunto não-vazio dos polinômio ''<math>q(x)</math>'' tais que ''<math>q(T)=0</math>'' forma um ideal no anel de todos polinômios com coeficientes no corpo. Portanto, existe um único polinômio mônico ''<math>p(x)</math>'' tal que ''<math>p(T)=0</math>''. Este polinômio é chamado de [[polinómio mínimo|polinômio mínimo]] de <math>T.</math>.
 
== Espaço dual ==
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